Als je een surjectieve afbeelding wilt creëren, moet je de elementen overhouden die als beeld dienen. Maar waarom mag je alleen de verzameling van nul tot oneindig gebruiken en niet alle reële getallen?
Niels
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 16 maart 2019
Antwoord
Beste Niels
Een afbeelding van een verzameling $A$ (domein) naar een verzameling $B$ (codomein) is surjectief als er voor elk element $b \in B$ een $a \in A$ bestaat zodat $a$ op $b$ afgebeeld wordt. Elk element van $B$ moet dus 'als beeld dienen', zoals jij het noemt. Die verzameling $A$ kan uit de positieve reële getallen bestaat, maar dat moet niet hoor... $$f:\color{green}{\mathbb{R}^+}\to\color{blue}{\mathbb{R}}:x \mapsto x^2$$ $$g:\color{green}{\mathbb{R}^+}\to\color{blue}{\mathbb{R^+}}:x \mapsto x^2$$ $$h:\color{green}{\mathbb{R}}\to\color{blue}{\mathbb{R^+}}:x \mapsto x^2$$In de voorbeelden hierboven is: - $f$ niet surjectief omdat bv. het element $-1 \in \color{blue}{\mathbb{R}}$ geen beeld is; - $g$ surjectief omdat elke $b\in\color{blue}{\mathbb{R^+}}$ het beeld is van $\sqrt{b}\in\color{green}{\mathbb{R}^+}$; - $h$ surjectief om dezelfde reden, ook al is de verzameling waar je van vertrekt heel $\color{green}{\mathbb{R}}$.
Maar ook volgende afbeeldingen zijn surjectief terwijl $A$ toch verschilt van $\mathbb{R}^+$: $$p:\;]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}[ \; \to\mathbb{R}^+:x \mapsto \tan x$$ $$q:[-1,1]\to[0,1]:x \mapsto \sqrt{1-x^2}$$ $$r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x \mapsto x^3$$Het zou natuurlijk wel kunnen dat je in een specifieke oefening gevraagd wordt om een surjectieve afbeelding te maken, met een opgegeven domein $A$, bijvoorbeeld de positieve reële getallen.
