Othogonaliteit als onderdeel in een meetkundige bewijsvoering
Vooraf formuleer ik even de opgave: 'Teken op de zijden AB en AC van driehoek ABC, buiten die driehoek, de vierkanten ABMN ACPQ. Bewijs dan NQ gelijk is aan het dubbele van de zwaartelijn za uit A van driehoek ABC.'
Mijn aanpak van het probleem: Teken door A een evenwijdige p met NQ en pas op p de lijnstukken AE = AF = za af.
Verbind dan E met N en F met Q. Het is dan de bedoeling aan te tonen dat de vierhoek EFQN een parallellogram is. Uit de figuur volgt dat driehoek AEN congruent is met driehoek ABD (AN=AB=c, AE=AD=za en gelijke ingesloten hoek gamma); analoog is driehoek AFQ congruent met driehoek ACD (AQ=AC=b, AF=AD=za en gelijke ingesloten hoek delta). (^)
Uit die congruentie volgt dat hoek(AEN) = D1 = alpha resp. hoek(AFQ) = D2 = bêta
Nu zijn D1 en D2 supplementaire hoeken, dus ook alpha en bêta, m.a.w. alpha + bêta = 180° (1). Nu worden de rechten EN en FQ gesneden worden door de rechte p, waarbij supplementaire binnenhoeken alpha en bêta worden vast gesteld. Hieruit volgt dat EN // FQ (2).
Anderzijds is bij constructie EF // NQ (3). Uit (2) en (3) volgt dat de vierhoek EFQN een parallellogram is =$\Rightarrow$ NQ = EF = 2.za (bij constructie).
Bemerking: Er zit een zwak punt in de redenering en dit heeft te maken met die 'ingesloten hoeken' (^). De hoeken gammaa zijn gelijk omdat de benen van die hoeken orthogonaal zijn. Analoog voor de hoeken delta. Bij constructie is AN orthogonaal met AB (vierkant), maar aantonen dat AE orthogonaal met AD=za is een ander verhaal. Het komt er dus op neer dat nog moet worden aangetoond dat AD = za orthogonaal is met p = EAF.
VRAAG: Hoe slaag ik er in, om aan te tonen dat p orthogonaal is met AD = za? Graag een tip om dit aan te pakken binnen het kader van de vlakke meetkunde (analytisch kan ik die orthogonaliteit wel aantonen). Hartelijk dank voor uw tussenkomst!
Yves D
Iets anders - dinsdag 5 maart 2019
Antwoord
Ik zou aantonen dat $NQ$ loodrecht staat op $z_a$.
Leg een kopie van $ABC$ langs de zijde $AQ$ van het rechtervierkant en wel zo dat $A$ naar $Q$ gaat en $C$ naar $A$ (draai de driehoek $90^\circ$ met de klok mee om het midden van het vierkant).
Idem langs de zijde $AM$ van het linkervierkant: $A$ naar $M$ en $B$ naar $A$ ($90^\circ$ tegen de klok in om het middelpunt van het vierkant).
De bovenste hoek bij $A$ is gelijk aan $\beta+\gamma$ dus de twee kopieën van de zijde $BC$ vallen precies op elkaar.
De lijn $NQ$ is een diagonaal van het parallellogram dat uit de twee driehoeken bestaat en bestaat dus uit twee stukken die elk even lang zijn als $z_a$, en daar door de draaiingen loodrecht op staan.
