Voor een theoretisch wiskunde examen wordt er veronderstelt dat ik een taylor-reeks ontwikkeling kan opstellen voor het gegeven f(x)=1/x. In het punt x=0. Ook wordt er gevraagd wat de convergentie straal hier juist is. Ik heb de reeks opgesteld maar kan hier geen algemeen verband uit afleiden. Zou u mij kunnen helpen? Alvast heel erg bedankt!
Lore
Student universiteit België - zondag 20 januari 2019
Antwoord
Je bijlage klopt niet met je vraag. Ik zie daar de functie gegeven door $f(x)=\ln\frac1x$, en je werkt rond het punt $x=1$.
Je werk is goed, ik zou zelf $f(x)$ even herschrijven tot $-\ln x$ maar dat is niet belangrijk.
Als je de afgeleiden iets anders uitschrijft zie je misschien wel een patroon:
$f'(x)=-x^{-1}$, $f''(x)=1\cdot x^{-2}$, $f'''(x)=-2\cdot x^{-3}$, $f^{(4)}(x)=2\cdot\cdot3\cdot x^{-4}$, $\dots$, dat lijkt op $f^{(n)}(x)=(-1)^n(n-1)!\cdot x^{-n}$. En dat kun je met volledige inductie bewijzen.
Overigens: de functie in je vraag, $f(x)=\frac1x$, is in $x=0$ niet eens gedefinieerd, dus daar kun je geen Taylorreeks maken.
