\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 87244

Re: Poolvergelijking ellips

Uw oplossing met t=tg(x/2)werkt ook voor integraal van poolvergelijking r = ed/(1+e·cos(x))² dx. Maar ik wil juist de oppervlakte A v/d ellips weten mbv series.

A=¹/₂ · integraal van 0-2$\pi$ van r² dx. De binomiaalserie is dus (1+x)^-2 met x=e·cos(x).

Voor n=0 tot n=0neindig zou dan de oppervlakte vd ellips gelijk zijn aan: (e²·d²)/2 · (-1)ⁿ · (n+1) · integraal (e· cos x )ⁿ dx. De cosinus-integraal bereken ik via Wallis formule.
Deze sommatie komt niet overeen met de substitutie-oplossing. Ik wil u vragen of bovenstaande correct is.

Volgens mij maak ik ergens een foutje.
Alvast dank voor uw vlotte reactie.

Herman
Ouder - zondag 16 december 2018

Antwoord

Het ziet er wat onoverzichtelijk uit maar je komt inderdaad uit op
$$
A=\frac12\int_0^{2\pi}\frac{e^2d^2}{(1+e\cos x)^2}\,\mathrm{d}x
$$via de reeksontwikkeling wordt dat
$$
A=\frac12e^2d^2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(n+1)e^n\int_0^{2\pi}\cos^nx\,\mathrm{d}x
$$Wel opletten: voor oneven $n$ is de integraal gelijk aan $0$, er komt dus
$$
A=\frac12e^2d^2\sum_{n=0}^\infty(2n+1)e^{2n}\int_0^{2\pi}\cos^{2n}x\,\mathrm{d}x
$$Dit kun je schrijven als
$$
A=\frac12e^2d^22\pi\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(2n+1)\binom{-\frac12}{n}e^{2n}
$$Zie de link hieronder voor hoe je dit aan de machtreeks voor $(1-e^2)^{-\frac12}$ kunt koppelen.

Zie Wikipedia: Binomial Series

kphart
maandag 17 december 2018

Re: Re: Poolvergelijking ellips

©2001-2024 WisFaq