\require{AMSmath}

Vergelijkingen oplossen met formulessymmetrie

Hoi, ik ben momenteel bezig met Goniometrische vergelijkingen en ik kom er maar niet uit. Ik heb naar diverse voorbeelden op internet gezocht en de meeste(als ze al bestonden) waren zeer beperkt in uitleg. Het gaat bijvoorbeeld om de volgende 3 vragen:

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.

1. 2sin²(x) - cos(2x) = 0
   
2. 2cos²(x) - 2sin(x) = 0
   
3. tan(x) = sin(x)
   
4. 2cos(2x)-cos(x) = 0
   

Ik heb geen idee hoe ik ze aan moet pakken. Ik loop vaak vast als er sprake is van een verdubbeling (bijvoorbeeld 2sin(x)) en je deze niet aan beide kanten kunt delen, of als er sprake is van een macht in de sin/cos.

Zou iemand mij kunnen uitleggen hoe je zo'n vergelijking vanaf het begin aanpakt?

Tobias
Student hbo - woensdag 27 juni 2018

Antwoord

Hallo Tobias,

Er zijn formules (somformules, verschilformules, verdubbelingsformules enz.) die je kunt gebruiken om je vergelijkingen te vereenvoudigen. De belangrijkste vind je hier: Goniometrische vergelijkingen oplossen, een meer compleet overzicht vind je bv op Wikipedia: goniometrie. Het is een kwestie van zoeken naar een geschikte formule. Bijvoorbeeld:

1. 2sin²(x) - cos (2x) = 0

Maak gebruik van de formule cos(2A) = 1 - 2sin²(A)

Dit levert:

2sin²(x) - (1 - 2sin²(x)) = 0
2sin²(x) - 1 + 2sin²(x) = 0
4sin²(x) = 1
sin²(x) = 1/4
sin(x) = ¹/₂ of sin(x) = -¹/₂
x = ¹/₆$\pi$+k·2$\pi$ of x = ⁵/₆$\pi$+k·2$\pi$

2.
Maak gebruik van de relatie sin²(x) + cos²(x) = 1, je vindt een kwadratische vergelijking in sin(x). Noem sin(x) even p, los de kwadratische vergelijking op, dan weet je de waarde van sin(x).
(Heb je deze opgave goed overgenomen? Ik vind geen 'mooie' hoek waarmee x algebraïsch opgelost kan worden).

3.
Schrijf tan(x) als ^sin(x)/_cos(x). Je vindt sin(x)=0 of cos(x)=1.

4.
Schrijf cos(2x) als 2cos²(x)-1 en los de kwadratische vergelijking op.

GHvD
donderdag 28 juni 2018

Re: Vergelijkingen oplossen met formulessymmetrie

©2001-2024 WisFaq