\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 86328

Re: Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs

Hartelijk dank voor het antwoord en ook voor de tip. Dus bij deze: wat is het algemene principe van deze aanpak?

John B
Student universiteit - vrijdag 1 juni 2018

Antwoord

Goede vraag!

Je wilt aantonen dat:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right)
$

Als je die termen uitschrijft krijg je:

$
\eqalign{\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$

De kunst is nu om alle termen aan de rechter kant te schrijven als:

$
\eqalign{\frac{{...}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$

Het is (als het ware) gelijknamig maken! Daarna kan je de termen rechts optellen en kijken wat er bij de teller moet staan...

Naschrift
Maar misschien is in de driehoek van Pascal kijken wel zo handig:

$
\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 1} \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 1} \\
k \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$

Gebruik daarbij de volgende eigenschap:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n - 1} \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n - 1} \\
k \\
\end{array}} \right)
$

WvR
vrijdag 1 juni 2018

©2001-2024 WisFaq