\require{AMSmath}

Spel met tien genummerde kaarten

Een doos bevat 10 kaarten, genummerd van 1 tot 10. Je mag er twee uitnemen, de laagste kaart terugsteken, schudden en opnieuw een kaart trekken. Van de twee kaarten die je nu overhoudt, mag je weer de laagste terugsteken. Je tegenspeler speelt hetzelfde spel. Je ziet dat hij bij de tweede trekking de kaart dadelijk weer terug legt. Hoe groot is de kans dat hij de kaart met nummer 10 in handen houdt ?

Gevolgde oplossingsstrategie :

Stel A10 = gebeurtenis dat kaart 10 overblijft na de 2de trekking.
Stel Bi = gebeurtenis dat kaart i behouden blijft na de 1ste trekking.
Stel T = waarneming dat de kaart in de 2de trekking kleiner is dan resultaat na 1ste trekking

Er geldt B10 $<$ A10 waarbij '$<$' staat voor 'deelverzameling'
=$>$ A10|T = B10|T en dus P(A10|T) = P(B10|T)
waarbij P(B10|T) = P(T|B10)P(B10) / P(T)
en P(T) = Som(i=2 tot 10)P(T|Bi)P(Bi)

Nu, de kans dat je een kaart i trekt tijdens de eerste trekking is gelijk aan 2/10 = 1/5 en de kans dat deze kaart i tijdens de eerste trekking behouden blijft is gelijk aan (i-1)/9

Zo verkrijg ik de volgende kansen voor elke mogelijke Bi:
P(B1) = 1/5.0/9 = 0
P(B2) = 1/5.1/9 = 1/45
P(B3) = 1/5.2/9 = 2/45
P(B4) = 1/5.3/9 = 3/45
P(B5) = 1/5.4/9 = 4/45
P(B6) = 1/5.5/9 = 5/45
P(B7) = 1/5.6/9 = 6/45
P(B8) = 1/5.7/9 = 7/45
P(B9) = 1/5.8/9 = 8/45
P(B10) = 1/5.9/9 = 9/45

en voor de a priori kansen P(T|Bi) (de situatie dat de kaart tijdens de tweede trekking kleiner is dan de kaart die na de 1ste trekking werd behouden) is gelijk aan (i-1)/9 :

Zo verkrijg ik de volgende kansen voor elke mogelijke T|Bi:
P(T|B1) = niet relevant aangezien kaart 1 nooit behouden blijft
bij de 1ste trekking
P(T|B2) = 1/9
P(T|B3) = 2/9
P(T|B4) = 3/9
P(T|B5) = 4/9
P(T|B6) = 5/9
P(T|B7) = 6/9
P(T|B8) = 7/9
P(T|B9) = 8/9
P(T|B10) = 9/9

Daarmee wordt P(T) = 1/9.1/45 + 2/9.2/45 + 3/9.3/45 + 4/9.4/45 + 5/9.5/45 + 6/9.6/45 + 7/9.7/45 + 8/9.8/45 + 9/9.9/45
=$>$ P(T) = 285/405

en bijgevolg P(A10|T) = P(B10|T) = 81/405 / 285/405
= 81/285
= 27/95

Ik stel deze vraag omdat het boek als antwoord 7/95 (?) geeft. Ben ik ergens de mist in gegaan of staat er in het boek een drukfout?

Rudi
Ouder - dinsdag 1 mei 2018

Antwoord

Beste Rudi,

Volgens een gelijksoortige redenatie/berekening kom ik ook uit op een kans van 27/95. Er moet dus sprake zijn van een drukfout in het boek, of van een verkeerde interpretatie van het spel.

GHvD
dinsdag 1 mei 2018

©2001-2024 WisFaq