\require{AMSmath}

Hoek waaronder grafieken elkaar snijden

Bereken langs algebraïsche weg de hoek waaronder de grafieken elkaar snijden.

$
\eqalign{
& f(x) = 8\cos ^3 (x) \cr
& g(x) = \frac{1}
{{4\cos ^2 (x)}} \cr}
$

Voor 0$<$x$<\pi$

Kaylee
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 12 maart 2018

Antwoord

Op lijnen en hoeken kan je zien dat het bij lijnen gaat om de tangens van de richtingshoek van elke lijn en de bijbehorende hoeken. Bij functies gebruik je dan de hoek van de raaklijnen in het snijpunt.

Als eerste moet je het snijpunt bepalen. Vervolgens bepaal je de richtingscoëfficiënten dan de raaklijnen (de afgeleiden in het snijpunt dus). Dan bepaal je de richtingshoeken en dan ben je er bijna.

Het snijpunt bepalen

$
\eqalign{
& 8\cos ^3 (x) = \frac{1}
{{4\cos ^2 (x)}} \cr
& 32\cos ^5 (x) = 1 \cr
& \cos ^5 (x) = \frac{1}
{{32}} \cr
& \cos (x) = \frac{1}
{2} \cr
& x = \frac{1}
{3}\pi \cr}
$

De afgeleiden bepalen

$
\eqalign{
& f(x) = 8\cos ^3 (x) \cr
& f'(x) = 8 \cdot 3\cos ^2 (x) \cdot - \sin (x) \cr
& f'(x) = - 24\sin (x)\cos ^2 (x) \cr
& f'\left( {\frac{1}
{3}\pi } \right) = - 3\sqrt 3 \cr}
$

$
\eqalign{
& g(x) = \frac{1}
{{4\cos ^2 (x)}} \cr
& g(x) = \frac{1}
{4}\cos ^{ - 2} (x) \cr
& g'(x) = \frac{1}
{4} \cdot - 2\cos ^{ - 3} (x) \cdot - \sin (x) \cr
& g'(x) = \frac{{\sin (x)}}
{{2\cos ^3 (x)}} \cr
& g'\left( {\frac{1}
{3}\pi } \right) = 2\sqrt 3 \cr}
$

Hoeken bepalen

$
\eqalign{
& \alpha \approx - 79,1^\circ \cr
& \beta \approx 73,9^\circ \cr
& \varphi = \alpha - \beta \approx - 153^\circ \cr}
$

De hoek ik ongeveer $27^o$

---

• Zie uitgewerkt voor een ander voorbeeld.

WvR
maandag 12 maart 2018

©2001-2024 WisFaq