\require{AMSmath}

Meetkundige plaats van een snijpunt van 2 rakende cirkels aan 2 vaste cirkels

Opgave: Twee vaste cirkels O1 en O2 raken elkaar uitwendig in A; het punt P is gelegen op gemeenschappelijke raaklijn AR van die cirkels.

1. Toon dan aan dat er 2 cirkels K1 en K2 bestaan die door P gaan en raken aan de vaste cirkels O1 en O2.
2. K1 en K2 hebben een 2e snijpunt Q; bepaal de meetkundige plaats van Q als P de raaklijn AR doorloopt.

Mijn bevindingen: Deel a) van de vraag heb ik gevonden en werd opgelost via het kiezen van een gepaste inversie.

Het punt P werd gekozen als middelpunt van de inversiecirkel en de straal is AP. Op die manier zal de inversiecirkel de vaste cirkels O1 en O2 orthogonaal snijden en worden ze door de inversie in zichzelf omgezet. Dit is duidelijk te zien in de bijgaande figuur 1 (WisFaq Figuur₁.png)
Voor wat betreft deel b) van de vraag, had ik al snel door dat de hoek(AQD) een rechte hoek moest zijn. Bijgevolg geldt dan AQ²+DQ² = AD² = constante! Volgens de theorie betekent dit dat Q moet gelegen zijn op een cirkel met als middelpunt N (midden van AD, met A en D vaste punten).

Ik verifieerde dat m.b.v. GeoGebra en stelde vast dat de boog G1AG2 niet tot de meetkundige plaats 'zou' behoren... maar door P te kiezen tussen G3 en G4 bleek dat Q wel op de boog G1AG2 kwam te liggen ; zie ook de tweede figuur
(file WisFaq Figuur 2.png). Zelfs als P=P' samenviel met het punt G4, bleek Q' op de cirkel met middelpunt N en straalAD/2 te liggen. De raaklin k'1 (rode kleur) gaat hier door het inversiecentrum P' en wordt in zichzelf omgezet. Die rechte snijdt (K'2) (d.i. de omzetting van de groene raaklijn k'2) in het punt Q' dat eveneens gelegen is op de cirkel (N,AD/2).

Uiteindelijk VRAAG: Hoe kan ik er in slagen om aan te tonen dat de de hoek(AQD) een rechte hoek is? Graag een tip a.u.b.

Yves D
Iets anders - zaterdag 24 februari 2018

Antwoord

Hallo Yves,

Zoals wel vaker gebeurt als ik vragen van je beantwoord, zou ik je een andere kant op willen sturen:

Kijk eens wat er gebeurt als je de inversie bestudeert met centrum $D$ en straal $DA$. De cirkel met diameter $AD$ is dan het beeld van de lijn $AR$.

Neem nu eens $Q$ als beeld van $P$ onder deze inversie. Hoeveel cirkels zijn er door $P$ en $Q$ die raken aan $(C_1)$? Waarom raken die ook aan $(C_2)$?

Als je het antwoord op die vragen hebt, heb je ook het antwoord op b).

Succes!

Met vriendelijke groet,

FvL
zondag 25 februari 2018

Re: Meetkundige plaats van een snijpunt van 2 rakende cirkels aan 2 vaste cirke

©2001-2024 WisFaq