Ik ben bezig met het onderwerp 'scheiden van variabelen'. Ik snap het hele principe alleen ik loop steeds vast op dezelfde stap.
Onderstaand beginwaardeprobleem staat als voorbeeld in mijn boek:
y'(t) = 1-2y(t), y(0)=1 Als je hiermee door rekent kom je op een gegeven moment op: ·integraal·1/1-2ydy = ·integraal·1 dt Tot hier begrijp ik het, maar hoe kom je vervolgens op de onderstaande formule (waar komt de -1/2 vandaan voor de ln) -1/2ln(1-2y) = t + K
Hetzelfde geldt voor onderstaande opdracht (hoe kom je aan de '-' voor -ln(5-H) = 0,8t + K?) Voor deze opdracht moet ik H(t) zelf opstellen aan de hand van H'(t)=0,8(5-H(t)) en H(0) = 0
De stap die ik niet snap is die van: ·integraal·1/5-HdH = ·integraal·0,8dt
naar: -ln(5-H) = 0,8t + K
Alvast bedankt!
B
Student universiteit - dinsdag 6 februari 2018
Antwoord
Hallo B,
Je kunt snel zien dat deze -1/2 nodig is wanneer je de gevonden primitieve weer differentieert. Je moet dan de oorspronkelijke functie terugkrijgen:
Die laatste -2 is het gevolg van de kettingregel. Deze factor -2 stond niet in de oorspronkelijke functie, samen met de factor -1/2 wordt dit netjes 1.
In het algemeen: je weet: f(x)=1/x geeft als primitieven F(x)=ln|x|+C. Wanneer de noemer een lineaire functie van x is, dus: f(x)=1/(ax+b), dan vind je als primitieven: F(x)=p·ln|(ax+b)|+C. Je kunt de waarde van a berekenen met 'terugdifferentiëren': F'(x)=f(x). Je vindt: p=1/a. Dit is een beetje houtje-touwtje-methode, maar het werkt wel.
