\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 85463

Re: Re: Re: Re: Re: Integreren

Opnieuw dank voor uw antwoord.

Als ik de transformaties

a:=1;
c:=0;
p:=1;
en
q:=(M*c[1])/a[1]+c[0]/a[0];

uitvoer op

h(y):=(abs(a)*y^(a*p)*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)^q)/(y*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)*b^(a*p)*Beta(p,q)*(1+c*((y)/(b))^a)^p*(1+c*((y)/(b))^a)^q);

dan krijg ik:

h(y):=((1-(y)/(b))^((M*c[1])/(a[1])+(c[0])/(a[0]))*((M*c[1])/(a[1])+(c[0])/(a[0])))/((1-(y)/(b))*b);

De beta-functie ie verdwenen.
Is dat wel de bedoeling?
Hoe moet ik dan precies 'b zo aanpassen dat alle constanten kloppen'.

Sorry voor mijn onbegrip.

Ad van
Docent - vrijdag 5 januari 2018

Antwoord

Het enige in $g(t)$ dan niet constant is is $-ta_0+M$ en deze wordt tot de macht $\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}-1$ genomen.
In de gegeneraliseerde Beta-verdeling staat de $q$-de macht van $1-(\frac yb)^a+c(\frac yb)^a$ in de teller en die factor staat ook nog een keer in de noemer, eigenlijk staat hij dus in totaal tot de macht $q-1$ in de uitdrukking. Daarnaast hebben we nog $y^{pa-1}$ en, in de noemer $(1+c(\frac yb)^a)^{p+q}$.
Om de twee uitdrukkingen op elkaar te laten lijken neem ik eerste instantie $c=0$ want dan houden we $y^{pa-1}$ over en $(1-(\frac yb)^a)^{q-1}$ die laatste kunnen we op de macht van $M-a_0t$ laten lijken door $a=1$ te nemen. Door dan ook $p=1$ te nemen verdwijnt het variabele stuk $y^{pa-1}$ en houden we $(1-\frac yb)^{q-1}$ en $(M-a_0t)^{\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}-1}$ over. Dat suggereert de waarde voor $q$. Ten slotte moet $M-a_0t$ overgevoerd worden in $1-\frac yb$ en dat kan door er $M(1-\frac{a_0}{M}t)$ van te maken en dat suggereert dat $b=\frac{M}{a_0}$ genomen moet worden.

Dat de beta-functie verdwijnt is niet verwonderlijk: $\beta(1,q)$ is gewoon uit te rekenen. En ook in de grote uitdrukking kun je de $\Gamma$s en $\beta$ wegwerken door te gebruiken dat
$$
\beta(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}
$$
Inderdaad: $g(t)$ laat zich vereenvoudigen tot
$$
c_0 M^{-(p+q)}\cdot\frac{p+q}{q}\cdot(M-a_0t)^{p+q-1}
$$
met $p=Mc_1/a_1$ en $q=c_0/a_0$.

kphart
vrijdag 5 januari 2018

Re: Re: Re: Re: Re: Re: Integreren

©2001-2024 WisFaq