We willen bewijzen hoe een lineaire functie van R2$\to$ R3 volledig bepaald wordt door een (3×2)-matrix volgens f(x)=Ax. in mijn boek gaat het bewijs als volgt:
We bekijken de waarden van f op de standaardbasis van R2. definieer:
(a1,1) = f (1) en(a1,2)=f(0) a2,1 0 a2,2 a3,1 a3,2
Nu als we f kennen op de basisvectoren, dan kennen we f in elk punt. Enzoverder...
Nu zit ik bij het begin van dit bewijs al vast. Vanwaar komen de waarden op de standaardbasis van R2 en hoezo kennen we f in elk punt als we f kennen op de basisvectoren?
mvg Lisa
Lisa
Student universiteit - donderdag 4 januari 2018
Antwoord
Beste Lisa,
De lineaire afbeelding $f$ gaat van $\mathbb{R}^2$ naar $\mathbb{R}^3$ dus het beeld van een vector uit $\mathbb{R}^2$ is een vector uit $\mathbb{R}^3$. Hoe het beeld van bijvoorbeeld de basisvector $(1,0)$ eruit ziet kunnen we niet weten als we $f$ niet kennen, maar het is in het algemeen een vector van de vorm $(x,y,z)$. Ze geven die coördinaten gewoon andere namen ($a_{1,1}$, ...); waarschijnlijk om het onderscheid met het beeld van de andere basisvector duidelijk te maken én om de brug al te leggen naar de matrix die ze met deze coördinaten gaan vullen.
Het feit dat de beelden van de basisvectoren ook alle andere beelden bepalen, volgt uit de lineariteit van $f$. Omdat je elke vector $(x,y)$ kan schrijven als $x(1,0)+y(0,1)$ volgt ook elk beeld, want: $$f\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) =f\left(x\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\right) =x\cdot f\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+y\cdot f\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$$mvg,
