Voor lineaire algebra wil ik laten zien dat er voor een nilpotent endomorfisme f van een 3-dimensionale vectorruimte V oneindig veel f-invariante deelruimtes zijn, dan en slechts dan als f2=0. Ik weet al dat er vier veschillende Jordannormaalvormen zijn, waarvan 3 voldoen aan f2=0 en 1 niet, maar ik kom niet verder. Kan iemand me daarme verder helpen?
Naomi
Student universiteit - vrijdag 20 oktober 2017
Antwoord
Hallo, Naomi.
Er is een basis a,b,c waarop de matrix van f een Jordanvorm heeft. Heb je al bedacht welk gevolg het nilpotent zijn van f heeft voor de elementen op de diagonaal van de Jordanmatrix? Je houdt nu inderdaad vier mogelijke Jordanmatrices over, en inderdaad geldt bij precies drie van deze vier dat f2 = 0. Bij een van deze drie is elke deelruimte f-invariant, bij de andere twee wordt ofwel elke lineaire combinatie van a en c op 0 afgebeeld ofwel elke lineaire combinatie van a en b, en dan zijn er dus ook oneindig veel eendimensionale f-invariante deelruimten. Rest je nog te bewijzen dat bij de Jordanmatrix waarbij niet f2 = 0 geldt, er niet oneindig veel f-invariante deelruimten zijn. Hint: werkend op basis a,b,c, kun je berekenen welke f-invariante deelruimtes van een bepaalde dimensie er zijn (onderscheid vier gevallen). Als het niet lukt, moet je nog maar eens vragen, en laten zien hoever je al gekomen bent.
