Als H een subgroep is van eindige groep G,en als |G|=m|H|, verander het bewijs van Lagrange's stelling om te laten zien dat gm!ÎH voor alle gÎG.
Mijn plan was om met lage waarden voor m te beginnen.
Dus stel m=1 dan |G|=|H| en dus G=H dus g ÎH voor alle g ÎG.
Bij m=2 liep ik echter al vast. Stel m=2 dus |G|=2|H|, dan willen we aantonen dat g2 ÎH voor alle g ÎG. Neem G=HÈg1H. Dan kunnen we 2 gevallen onderscheiden, namelijk g ÎH, en gÏH. In het geval van g Î H zijn we snel klaar. Maar als g ÏH, dan zit g Î g1H.
Hier liep ik vast, want dan zit g2 toch ook in g1H? En als dat zo is kan hij niet in H zitten, want g1H en H hebben alleen de identiteit gemeen.
Bij voorbaat dank!
Dorien
Student universiteit - dinsdag 3 oktober 2017
Antwoord
Inderdaad, als $g\in H$ dan ook $g^2\in H$, want $H$ is een ondergroep. Maar waarom zou $g^2$ in $g_1H$ moeten zitten als $g\in g_1H$? `Toch' is niet een erg sterk argument. Sterker nog: ook als $g\in g_1H$ dan $g^2\in H$. Immers je kunt $g=g_1h$ schrijven met $h\in H$. Dan geldt $g^2=g_1hg_1h$; maar $hg_1h\notin H$ en dus $g^2\notin g_1H$. Ik zou de hint volgen en nog eens goed naar het bewijs van de stelling van Lagrange kijken.
Oh, en $H$ en $g_1H$ zijn disjunct, ze hebben geen enkel punt gemeen.
Re: Subgroep van een eindige groep 