\require{AMSmath}

Algemene oplossing

Beste,

In mijn wiskundeboek stond de volgende vraag: 'Probeer een algemene oplossing te vinden voor

a·cos(x) + b·sin(x) = c

De oplossing dient dan uitgedrukt te worden in a, b en c. Probeer eerst 4·cosx - 2·sin(x) = 3 op te lossen.'

Ik heb diverse methoden geprobeerd. De sinus omschrijven als een tangens, beide leden kwadrateren, delen door de cosinus zodoende de tangens te verkrijgen. Echter wat ik ook probeer het lukt mij niet om deze twee vergelijkingen op te lossen. Hopelijk kunt u mij op de goede weg helpen.

Alvast bedankt voor uw moeite

Erwin
Student hbo - donderdag 14 september 2017

Antwoord

De (algemene) methode die ik zou gebruiken is die van de fase-amplitudevorm. Je begint met $A=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}$. Dan geldt dus $(4/A)^2+(-2/A)^2=1$ en dat betekent dat er een hoek $\alpha$ is met $4/A=\cos\alpha$ en $-2/A=\sin\alpha$. Nu kun je de linkerkant schrijven als
$$
\sqrt{20}(\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x)
$$
en met een gonioformule wordt dat $\sqrt{20}\cos(x-\alpha)$. Je vergelijking wordt dus
$$
\sqrt{20}\cos(x-\alpha)=3
$$
De $\alpha$ kun je met behulp van een rekenmachientje benaderen en dan kun je je vergelijking ook (bij benadering) oplossen.
Dit werkt ook voor willekeurige $a$, $b$ en $c$.

kphart
donderdag 14 september 2017

©2001-2024 WisFaq