Wij hebben een ingewikkelde vraag over het vinden van een optimum in een data set. Kunnen jullie helpen dit optimum te vinden? We weten niet precies of we bij functie, meetreeksen of differentiëren de vraag moesten stellen.
Uitgangspunt We beschikken over een uitgebreide reeksen. Om te beginnen: y1 als functie van x1 met minstens 20 punten. We beginnen met een 4e graads polynoom: y1 = c1,1 x14 + c1,2 x13 + c1,3 x12 + c1,4 x1 + c1,5 We kunnen met Excel met de lijnschatter de coëfficiënten c1,1, c1,2, c1,3, c1,4 en c1,5 makkelijk bepalen. Het verband is heel netjes blijkt uit een gemaakte grafiek in Excel. Ook de r2 en die is 0,99999. Met de polynoom kunnen we nu y1 als functie van x1 uitrekenen. Oftewel: y1=f(x1).
Elke reeks van y1 is bepaald voor verschillende waardes van x2. Als we nu een willekeurige vaste waarde nemen voor x1 kunnen we voor elke x2 met de eerstgenoemde polynoom y1 uitrekenen. Als je x2 metingen (bijvoorbeeld 10) hebt krijg je dus x2=10 maal een waarde van y1. Je hebt dan een tabel van y1 versus x2. Van deze reeks maken we ook een 4e graads polynoom: y2 = c2,1 x24 + c2,2 x23 + c2,3 x22 + c2,4 x2 + c2,5 Weer kunnen we met Excel met de lijnschatter de coëfficiënten c2,1, c2,2, c2,3, c2,4 en c2,5 bepalen. Ook dit verband is netjes met een r2 van 0,9999. Met deze polynoom kunnen we nu y2 als functie van x2. Uitrekenen bij een willekeurige bekende waarde van x1. Oftewel: y2=f(x2) bij x1.
Waarschijnlijk voel je hem al aankomen: voor elke y2 hebben x3 (bijvoorbeeld 15 metingen) metingen verricht. Oftewel bij een willekeurig vast gekozen x1 en x2, kunnen we y2 uitrekenen. We krijgen dan een tabel van y2 versus x3. Idem: Van deze derde reeks maken we ook een polynoom: y3 = c3,1 x34 + c3,2 x33 + c3,3 x32 + c3,4 x3 + c3,5 Idem in Excel met de lijnschatter bepalen we de coëfficiënten c3,1, c3,2, c3,3, c3,4 en c3,5 met een r2 van 0,999. Met deze polynoom kunnen we tot slot y3 als functie van x3 uitrekenen bij een willekeurige bekende waarde van x1.en x2. Oftewel: y3=f(x3) bij x1 en x2.
Nu hebben we een functie y4 = 6 (1 - y3) / x3 Is het op één of andere manier mogelijk om aan de hand van de drie polynomen en de functie y4 om een analytische maximum (optimum) te bepalen? Bijvoorbeeld als functie van x3, x2 en/of x1?
Hier is geen touw aan vast te knopen. - We beschikken over een uitgebreide reeksen. Een of meer? - met een beetje goede wil is de eerste alinea te lezen als een kleinste-kwadratenoplossing van een meetprobleem met 20 meetpunten. Het resultaat: een vierdegraadspolynoom dat de tweede variabele $y_1$ uitdrukt in de eerste $x_1$. - tweede alinea: is $y_1$ dezelfde variabele als in de eerste alinea? Wat is $x_2$ eigenlijk? Een variabele, een rij meetpunten, of alleen maar het aantal meetpunten $x_2=10$? Als $x_1$ vast is, dan ligt $y_1=f(x_1)$ vast en kan een andere variabele geen variatie in de $y_1$ veroorzaken. Het is in deze alinea absoluut niet duidelijk wat voor soort meetpunten nu gebruikt worden. - Overigens lijkt er per $x_1$ een ander polynoom uit te komen; dat levert er toch veel meer dan drie aan het einde. - En, nee, we zien verder niets aankomen want we zijn al lang de draad kwijt, en het is niet handig dezelfde functie ook voor $y_2=f(x_2)$ en $y_3=f(x_3)$ te gebruiken. - Kortom, overdenk nog eens goed wat je eigenlijk wilt vragen.
Re: Optimum bepalen van een meetreeks en polynomen 