Hoe bewijs ik de eigenschappen van een willekeurige rechthoekige driehoek ABC?
Stel, ik heb een rechthoekige driehoek ABC waarbij $\angle$A = 90° met een bissectrice van $\angle$A naar punt P waardoor de twee (gelijkvormige?) driehoeken ACP en ABP ontstaan. $\angle$C zit boven $\angle$A en $\angle$B zit rechts van $\angle$A. Er zijn geen lengten gegeven.
1) Hoe toon ik aan dat $\angle$PAC = $\angle$B? Momenteel heb ik als verklaring dat driehoek ACP en driehoek ABP gelijkvormig zijn, dus driehoek ACP $\sim$ driehoek ABP. Wanneer je de twee driehoeken naast elkaar legt, komen zowel $\angle$PAC als $\angle$B aan de rechterzijde van de driehoek te staan. Is dit correct, en zo niet, hoe toon ik dit daadwerkelijk aan?
2) Hier komt het lastige: ik moet aantonen met gelijkvormigheid dat de eigenschappen AC2 = PC·BC en AB2 = PB·BC juist zijn. En dat door slechts een enkele hoek te weten. Waar moet ik beginnen?
Mario
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 12 mei 2017
Antwoord
Hallo Mario,
Allereerst denk ik dat AP geen bissectrice is van hoek A (deze zou hoek A middendoor delen). AP is hoogstwaarschijnlijk een hoogtelijn vanuit A (dus loodrecht op de tegenoverliggende zijde), zie de figuur hieronder.
Om gelijkvormigheid van driehoeken te bewijzen, is het voldoende om van twee hoeken aan te tonen dat deze in beide driehoeken gelijk zijn. De derde hoek is dan automatisch ook gelijk in beide driehoeken, want de som van de hoeken is 180°. In dit geval kijken we naar de grote driehoek ABC en de grijze driehoek APC:
Hoek A in driehoek ABC = hoek P in driehoek APC (=90°, gegeven)
Hoek C in driehoek ABC = hoek C in driehoek APC
Conclusie: de grote driehoek ABC is gelijkvormig met de grijze driehoek, dus de derde hoek in beide driehoeken is ook gelijk:
Hoek PAC = hoek B
Nu komt iets heel belangrijks: bij het benoemen van gelijkvormigheid moet je ervoor zorgen dat je de overeenkomstige hoeken in dezelfde volgorde noemt! Eén van de driehoeken mag je noemen zoals je wilt (bijvoorbeeld: de grote driehoek noem ik ABC). Hoek A (=90°) is als eerste genoemd, dan moet je voor de grijze driehoek als eerste hoek P noemen (want: hoek A in de grote driehoek is hoek P in de grijze driehoek). Hoek B in de grote driehoek noem ik als tweede, dan moet voor de grijze driehoek hoek A als tweede noemen (want: hoek B in de grote driehoek is hoek A in de grijze driehoek, dus hoek PAC). Dus:
Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek PAC (en niet met driehoek ACP, zoals jij noemt).
Het voordeel van deze notatie is dat je snel ziet welke verhoudingen tussen zijden steeds gelijk zijn:
AB/PA = BC/AC = AC/PC
In de teller kies je een zijde tussen twee letters van de grote driehoek (bijvoorbeeld AB, de eerste twee letters), in de noemer kies je dan ook de eerste twee letters van de kleine driehoek (=PA). Zo ook voor de twee laatste letters, en de eerste+laatste letter. Op deze manier vind je snel de overeenkomstige zijden van de twee driehoeken.
Hiermee kan je jouw vervolgvraag beantwoorden: Te bewijzen: AC2 = PC·BC
Schrijf dit als: AC/PC = BC/AC
Hierboven zie je dat dit volgt uit gelijkvormigheid van driehoeken ABC en PAC.
Op dezelfde wijze kan je aantonen dat de driehoeken ABC en PBA gelijkvormig zijn, daaruit volgt dan dat AB2 = PB·BC
