Hallo Gilbert, bedankt voor je reactie. Stel dat ik 95% zeker wil zijn. Is het dan mogelijk om het aantal spelers te berekenen? Eventueel kan ik namelijk het team uitbreiden met spelers die ook 20% komen. Ofwel hoeveel spelers heb ik minimaal nodig om met 95% zekerheid te hebben dat ik met 6 man kan spelen?
Menno
Iets anders - dinsdag 9 mei 2017
Antwoord
Hallo Menno,
In principe is het mogelijk om te berekenen hoeveel spelers je nodig hebt om voor 95% zeker te zijn dat 6 spelers beschikbaar zijn, maar het wordt heel veel werk. Dit komt omdat al deze spelers een verschillende kans hebben om op te komen. Je zult dus moeten opsplitsen in heel veel mogelijkheden waarop je tot 6 spelers kunt komen. Ik geef aan hoe je dit zou kunnen doen wanneer je alleen de eerste 8 spelers ter beschikking zou hebben.
Als eerste moet je dan bekijken hoe je aan (minimaal) 6 spelers kan komen. Dit splitst zich weer in de mogelijkheden:
6 spelers kunnen wel, 2 spelers niet
7 spelers kunnen wel, 1 speler niet
8 spelers kunnen wel.
De kans op deze laatste mogelijkheid laat zich vrij snel berekenen. De kans dat de eerste 8 spelers wel kunnen, is:
0,75·0,70·0,65·0,65·0,60·0,55·0,50·0,50 = 0,0183 dus ongeveer 1,83%
De kans op de middelste mogelijkheid vergt al meer werk. Stel dat speler 1 niet kan, de rest wel. De kans dat speler 1 niet kan, is (1-0,75)=0,25. De kans dat speler 1 niet kan en de rest wel, is dus dezelfde berekening, alleen is de eerste 0,75 vervangen door 0,25. We krijgen:
De kans dat speler 1 niet kan en spelers 2 t/m 8 wel, is: 0,25·0,70·0,65·0,65·0,60·0,55·0,50·0,50 = 0,0061 dus ongeveer 0,61%
Hetzelfde moet je doen voor de mogelijkheid dat alle spelers kunnen, behalve speler 2. Er zijn 8 mogelijkheden waarop één van de acht spelers niet kan, dus in principe krijg je 8 van deze berekeningen. Gelukkig komen de kansen 0,65 en 0,50 elk twee keer voor, deze dubbele berekeningen hoef je dus niet apart uit te rekenen. Je blijft dus zitten met 6 verschillende berekeningen.
Dan komt het ergste: het aantal mogelijkheden dat 2 spelers uit een groep van 8 niet kunnen, is het aantal combinaties van 2 uit 8. Dit levert 28 mogelijkheden op (spelers 1 en 2 kunnen niet, of spelers 1 en 3, of 1 en 4 enz enz). Het doorrekenen van de mogelijkheid dat 2 spelers van de 8 niet kunnen en 6 wel, vergt dus nog eens 28 berekeningen.
Als je dit gedaan hebt, tel je de kansen op al deze mogelijkheden bij elkaar op, dan weet je de kans dat uit een groep van 8 spelers er minimaal 6 kunnen spelen. Deze kans is vast kleiner dan 95%.
Bij een groter aantal beschikbare spelers loopt het aantal berekeningen al snel uit de hand. Bij 10 beschikbare spelers moet je al gaan splitsen in:
1 mogelijkheid waarop alle spelers kunnen,
10 mogelijkheden dat 9 spelers kunnen,
45 mogelijkheden dat 8 spelers kunnen,
120 mogelijkheden dat 7 spelers kunnen, en
210 mogelijkheden dat 6 spelers kunnen.
Dit levert 386 berekeningen op waarbij je 10 kansen met elkaar moet vermenigvuldigen. Ik zou hiervoor maar een computerprogrammaatje schrijven ...
PS: De berekening wordt een stuk eenvoudiger wanneer de kans dat een speler kan voor elke speler gelijk is. We krijgen dan te maken met een binomiale kansverdeling. Je zou bijvoorbeeld voor elke speler een kans van 20% kunnen kiezen dat deze speler kan. Wanneer je dan bv 95% zeker bent dat je 6 spelers hebt, dan zal dit bij een betere opkomst alleen maar beter zijn.
Dit is een reactie op vraag 84391 
