Bewijs dat twee limieten gelijk zijn zodra één van de twee bestaat
Gegeven zijn een functie f: $\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ en een punt a $\in\mathbf{R}$. Bewijs dat $lim_{x→a}f(x)=lim_{h→0}f(a+h)$ zodra een van de twee limieten bestaat.
Tot nu toe heb ik de definities opgeschreven, dus als $lim_{x→a}f(x)$ bestaat, stel deze gelijk aan b, dan als x$\in$dom(f) en d(x,a)$<$d dan d(f(x),b)$<$e. En als $lim_{h→0}f(a+h)$ bestaat, stel deze gelijk aan c, dan als h$\in$dom(a+h) en d(h,0)$<$d dan d(f(a+h),c)$<$e.
Mijn volgende stap was om te proberen te bewijzen dat als $lim_{x→a}f(x)$ bestaat $lim_{h→0}f(a+h)$ ook bestaat, en andersom. Hier liep ik vast. Om aan te tonen dat ze gelijk aan elkaar zijn wilde ik de driehoeksongelijkheid gebruiken, maar dat lukte ook niet.
Daniqu
Student universiteit - woensdag 26 april 2017
Antwoord
Dit is niet veel meer dan een vertaling: $\lim_{x\to a}f(x)=b$ betekent $$ (\forall\varepsilon > 0)(\exists\delta > 0)(\forall x)\bigl(0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-b| < \varepsilon\bigr) $$Dit kun je vertalen naar $\lim_{h\to0}f(a+h)=b$ $$ (\forall\varepsilon > 0)(\exists\delta > 0)(\forall h)\bigl(0 < |h| < \delta \Rightarrow |f(a+h)-b| < \varepsilon\bigr) $$door je je te realiseren dat $0 < |h| < \delta$ hetzelfde betekent als $0 < |a+h-a| < \delta$; het enige dat gebeurt is dat de $x$ uit de eerste definitie in de tweede definitie geschreven wordt als $a+h$ (of $x-a=h$).
Uitgaande van het bestaan van de eerste limiet neem je bij gegeven $\varepsilon$ een $\delta$ als daar gegeven. Dan volgt meteen: als $0 < |h| < \delta$ dan $0 < |(a+h)-a| < \delta$ en dus $|f(a+h)-b| < \varepsilon$.
