Bijzondere constructie van een vierkant via een rotatie
Opgave: Gegeven zijn 2 snijdende rechten a en b en een punt O buiten die rechten. Teken dan een vierkant ABCD, waarbij A resp. B gelegen is op de rechte a resp. b, én, O het middelpunt (zwaartepunt) is van dat vierkant.
Gedachtengang: Ik tekende vooraf de rechte d, één van de bissectrices van beide rechten, gelegen in de zone waar ook O is gelegen. Het snijpunt van beide rechten noemde ik M.
Ik dacht dan aan een rotatie, hetzij rond O, hetzij rond M of hetzij N, zijnde het midden van het lijnstuk OM.
Als ik er zou in slagen bijv. O op een bissectrice te krijgen, dan lijkt het niet zo moeilijk om de constructie uit te voeren.
Elk van die drie rotatiecentra bleek niet te werken, want dat deed ook de stand van de rechten te veranderen, zodat de stand van de bissectrice d ook veranderde... Ofwel heb ik iets over het hoofd gezien???
VRAAG: Welk rotatiecentrum had ik in deze situatie het best gekozen? Van harte bedankt voor uw eventuele tip!
Maryse
3de graad ASO - donderdag 2 februari 2017
Antwoord
Hallo Maryse,
Je moet twee punten A en B zien te vinden zodanig dat hoek AOB een rechte hoek is, en de afstanden OA en OB gelijk zijn (zie de figuur). Dan is lijnstuk AB een zijde van het gevraagde vierkant, OA en OB zijn halve diagonalen.
Roteer dus één van de lijnen (bv de rode lijn a) over 90° met O als rotatiecentrum. Het snijpunt van de geroteerde lijn met de groene lijn b is een hoekpunt van je vierkant.
In de figuur hierboven: wanneer A en B de gevraagde hoekpunten zijn, dan komt A na rotatie over 90° rechtsom op B te liggen. OB is een halve diagonaal van je vierkant, van hieruit kan je het gehele vierkant op verschillende manieren construeren.
Wanneer je de andere lijn roteert (of dezelfde lijn in de andere richting), dan vind je een tweede mogelijke oplossing.
