Ik moet het gemiddeld aantal pogingen berekenen van deze casus:
3 dobbelstenen gooien en zien hoe lang het gemiddeld duurt voordat ze alle 3 op 6 liggen (als er 1 op 6 ligt blijft die dobbelsteen liggen natuurlijk).
Nu ik weet dat het logische antwoord 6 zou zijn, alleen vraag ik mij af of de uitschieters $>$6 een verschil maken op mijn gemiddelde en hoe ik dit zou kunnen berekenen.
Julia
3de graad ASO - woensdag 23 november 2016
Antwoord
Waarom zou $6$ het logische antwoord zijn? Je zegt dat je het weet, dus dan moet je dat ook kunnen beargumenteren.
Hier is mijn redenering: neem drie dobbelstenen en gooi elke steen tot hij een zes geeft, het maximum van die drie uitkomsten is waar je de verwachting van wil weten. Bij één dobbelsteen geldt $P(X\le k)=1-(\frac56)^k$, want de kans dat je de eerste $k$ keer geen zes gooit is $(\frac56)^k$. Bij drie dobbelstenen geldt $P(M\le k)=\bigl(1-(\frac56)^k\bigr)^3$ (met $M=\max(X_1, X_2, X_3)$, we vermenigvuldigen omdat de dobbelstenen onafhankelijk zijn). De verwachting van $M$ is, per definitie, $$ \sum_{k=1}^\infty kP(M=k) $$Je kunt $P(M=k)$ schrijven als $P(M\le k)-P(M\le k-1)$ maar dat geeft in eerste instantie lelijke formules. Je kunt de som ook zo schrijven: $$ \sum_{k=1}^\infty\sum_{l=1}^k P(M=k). $$Verwisseling van sommatievolgorde geeft dan dit: $$ \sum_{l=1}^\infty \sum_{k=l}^\infty P(M=k) $$en dat kun je schrijven als $$ \sum_{l=1}^\infty\bigl(1-P(M\le l-1)\bigr)\hbox{ of }\sum_{l=0}^\infty \bigl(1-P(M\le l)\bigr). $$Je moet dus $$ \sum_{l=0}^\infty\left(1-\left(1-\left(\frac56\right)^l\right)^3\right) $$bepalen en dat komt neer op drie meetkundige reeksen sommeren: $$ 3\cdot\sum_{l=0}^\infty \left(\frac56\right)^l - 3\cdot\sum_{l=0}^\infty \left(\frac56\right)^{2l} + \sum_{l=0}^\infty \left(\frac56\right)^{3l} $$
