Re: Re: Re: Continuïteit en differentieerbaarheid standaardfuncties
Is het werkelijk zo ingewikkeld?
Voor polynomen kan je het toch als volgt bewijzen?
Bewijs continuïteit van een polynoom: - Neem: f(x)=an·xn+...+a0 - Vervolgens bewijs je dat lim (x$\to$b) f(x) = f(b) en dit kan eenvoudig door f(x) in te vullen en vervolgens de limietregels toe te passen.
Bewijs differentieerbaarheid van een polynoom: - Neem: f(x)=an·xn+...+a0 - [an·xn+...+a0]' = an · n · xn-1 + ... + a1 en dit is opnieuw een polynoom.
En om die limietregels gaat het nu net in dat boek, die moet je natuurlijk ook bewijzen en dan wel vanuit de definitie van limiet, die lijkt erg veel op de continuiteitsdefinitie in hoofdstuk 22: $$ \lim_{x\to c}f(x)=L $$ betekent: bij elk positief getal $\varepsilon$ bestaat een positief getal $\delta$ zo dat $$ \bigl|f(x)-L\bigr|\le\varepsilon \hbox{ als }x\in[c-\delta,c+\delta]\cap\mathrm{Dom}_f \hbox{ en } x\neq c $$Je kunt de bewijzen van stellingen 22.3 en 22.4 gebruiken om de regels voor sommen, producten en samenstellingen te bewijzen.
In het boek is er voor gekozen de limietdefinitie over te slaan en alleen continuiteit te behandelen. Verder wordt goed gebruik gemaakt van de stelling dat differentieerbare functies continu zijn (stelling 22.5 en gevolg 22.6) omdat het soms makkelijker is te laten zien dat een functie lineair benaderbaar is (definitie 10.11), en `lineair benaderbaar' is hetzelfde als `differentieerbaar'. Kijk maar naar de e-macht, logaritme, enzovoort.
Je begon met vragen naar bewijzen van continuiteit en differentieerbaarheid van de `standaardfuncties'; die bewijzen staan in het boek, netjes en uitgaande van precieze definities. In het boek vind je ook precieze definities van $e^x$, $\log x$, $\sin x$, enzovoort. Als je echt wilt weten hoe alles in elkaar steekt zul je er moeite voor moeten doen.
Dit is een reactie op vraag 83218 
