\require{AMSmath}

Quotiëntregel

Goedemiddag,

Ik heb twee vragen over de quotiëntregel samen met sin, cos en arcsin.

Ik loop vast bij de volgende opgaven:
Bereken de afgeleide van sin x / (1+cos x)
'= (cos x · (1+cos x) - sinx (-sinx)) / (1+cosx)²
'= cos (x) + cos²x+sin²x / (1+cosx)²

Ik kom op dat laatst genoemde antwoord uit, maar in het antwoordenboek hebben ze het volgende antwoord: 1/1+cos(x)

Hoe komen ze hierbij?

Volgende opgave:
Bereken de afgeleide van (arcsin x)/(x+1).

Ik weet dat de afgeleide arcsin x is 1/√1-x²
Maar hoe ik dat moet toepassen in de quotientregel snap ik niet.

Kunnen jullie mij hierbij helpen?
MVG

• Quotiëntregel

Marlie
Student hbo - donderdag 27 oktober 2016

Antwoord

Beste Marlies,

Dat antwoord is correct, maar kan nog verder vereenvoudigd worden. Je weet misschien dat $\color{blue}{\cos^2x+\sin^2x = 1}$, dus:
$$\frac{\cos x + \color{blue}{\cos^2x+\sin^2x}}{\left( 1+ \cos x \right)^2}
= \frac{\cos x + \color{blue}{1}}{\left( 1+ \cos x \right)^2}
= \frac{1}{1+ \cos x}$$
Voor de tweede opgave; gewoon netjes de quotiëntregel volgen:
$$\left(\frac{\arcsin x}{x+1}\right)'
= \frac{\left( \arcsin x \right)'\left( x+1 \right)-\left( \arcsin x \right)\left( x+1 \right)'}{\left( x+1 \right)^2}$$De afgeleide van $\arcsin x$ gaf je zelf al, die van $x+1$ is eenvoudig. Dan vereenvoudigen.

mvg,
Tom

td
donderdag 27 oktober 2016

©2001-2024 WisFaq