Ik heb nu wiskunde A en vaak krijg ik vragen, zoals 'Welke waarden moet je instellen om de grafiek goed in beeld te zien?' of 'Welke x-min waarde moet je bij deze (gegeven formule van de opdracht) instellen?' Ik zelf weet dan nooit hoe je dat het beste kan bepalen, ik heb het aan andere docenten gevraagd, maar ik krijg dan als antwoord dat je naar de cijfers moet kijken die in de formule staan. Zou iemand mij hierbij kunnen helpen?
noa
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 24 oktober 2016
Antwoord
Hallo Noa,
Er is geen algemeen 'recept' om handige instellingen van je window te kiezen, maar ik kan je wel enkele vuistregels geven. Vaak is het handig om een veilige eerste schatting te maken, en aan de hand van het schermbeeld nog wat bij te stellen (inzoomen). Ik geef uitleg aan de hand van voorbeelden.
Allereerst maar eens de 'verhaaltjessommen': opgaven die over 'echte' dingen gaan, zoals de hoogte waarop een vliegtuig vliegt, de tijd die nodig is om een reis te maken of de breedte van een tunnel. Hierbij kan je vaak gezond verstand gebruiken.
Bijvoorbeeld: de y-waarde stelt een hoogte in meters voor. Gaat het om de hoogte tijdens de groei van een zonnebloem, dan zijn Ymin=0 en Ymax=4 redelijke waarden. Gaat het om de hoogte van een boom, dan kies je voor Ymax misschien wel 40. Gaat het om een vliegtuig tijdens het landen of stijgen, dan dan moet je Ymax misschien wel 500 kiezen, en als het om de vlieghoogte gaat van een verkeersvliegtuig tijdens een internationale vlucht, dan kies je Ymax al snel 15000. Met gezond verstand kan je een redelijke schatting maken van y-waarden die je minimaal en maximaal kunt verwachten. Bij deze voorbeelden heeft een negatieve Ymin geen zin: voor al deze hoogtes zijn alleen positieve waarden relevant. In dat geval kies je Ymin=0. Er zijn ook voorbeelden denkbaar waarbij negatieve y-waarden wel relevant zijn, zoals de zeewaterhoogte ten opzichte van gemiddeld. Bij vloed komt het water enkele meters boven gemiddeld niveau, bij laag water enkele meters onder gemiddeld. Dan zou je bijvoorbeeld kunnen kiezen: Ymin=-5, Ymax=5.
In horizontale richting geldt hetzelfde. Wellicht stelt x een tijd voor. Vaak begin je te tellen vanaf t=0, dan kies je Xmin=0. Met gezond verstand maak je een schatting van de maximale tijd die je wilt zien: gaat het over een mensenleven in jaren, dan kies je bijvoorbeeld Xmax=100. Maar gaat het over een fietstochtje in uren, dan is Xmax=5 misschien voldoende. Voor een hele dag fietsen kies je wellicht Xmax=10.
Wanneer je alleen een formule hebt met x en y, zonder context, probeer dan eens in te schatten of je heel grote waarden van x nodig hebt voordat er 'iets met y gebeurt', of dat y al sterk verandert bij kleine waarden van x. Hiervoor kan je kijken naar de getallen waarmee x (of x2, of √x) wordt vermenigvuldigd. Wanneer bv in de formule voorkomt:
0,00068(x-10)2
dan zorgt de kleine factor 0,00068 ervoor dat je flink grote waarden van x nodig om wat effect op y te krijgen. Kies dan bv Xmin=-100 en Xmax=100 (als uit de gegevens blijkt dat alleen positieve waarden van x relevant zijn, dan kies je natuurlijk Xmin=0). Maar als je ziet:
800(x+2)2
dan zijn vanwege de grote factoor 800 kleine waarden van x al voldoende om flinke veranderingen van y te krijgen. Kies dan bijvoorbeeld Xmin=-10 en Xmax=10.
Vervolgens kan je een schatting maken van de waarden van y die je kunt verwachten. Bekijk eens wat je kunt verwachten bij x=Xmin, x=0 en x=Xmax. Als we bij het eerste voorbeeld x=Xmin invullen (dus: x=-100), dan vinden we ongeveer:
x=-100: y0,0007·(-100)2 0,0007·10000 7
Je ziet: het gaat om de orde van grootte, dus 0,00068 rond ik af op 0,0007 en (-100-10) rond ik af op -100. Voor x=100 vind je ongeveer hetzelfde, en voor x=0 vind je ongeveer 0,0007·1000. Je wilt dus zeker waarden tussen 0 en 7 zichtbaar maken, dus Ymin=0 en Ymax=10 zal een aardige eerste poging zijn.
In het tweede voorbeeld vinden we voor y=waarden bij x=Xmin, x=Xmax en x=0:
We willen y=waarden tussen 0 en 80000 zien, kies dus Ymin=0 en Ymax=100000
In het algemeen geldt: kies je window liever wat te ruim dan te krap. Wanneer je het window te krap kiest, dan heb je kans dat de grafiek geheel buiten beeld valt. In dat geval heb je geen idee hoe je een betere instelling kunt kiezen. Wanneer je het window wat ruim kiest, zie je al snel het relevante deel van je grafiek. Maar overdrijf niet: wanneer je je window extreem ruim kiest, dan 'plakt je grafiek tegen de assen' en zie je deze niet meer.
Bij een ruim gekozen window kan zijn dat een flink deel van het scherm niet gebruikt wordt. Bijvoorbeeld: de rechter helft is leeg. Dan weet je dat de middelste x-waarde op het scherm de grootste waarde is die je nodig hebt. Je kunt deze waarde dan als nieuwe Xmax kiezen. Het kan ook voorkomen dat de grafiek aan de bovenzijde uit het scherm loopt. Kies dan Ymax groter, bijvoorbeeld 2 of 5 keer zo groot. Zo kan je, met gezond verstand, stap voor stap naar een goede instelling van je window toe werken.
0,0007·(-100)2 