Afstand middelpunten van ingeschreven en omgeschreven cirkel
Beste, ik weet niet hoe ik precies aan deze oefening moet beginnen:
Hoe groot is de afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven en omgeschreven cirkel van een driehoek met zijden 6, 8 en 10
Kunt u me hiermee helpen? Alvast bedankt!
shaki
2de graad ASO - zaterdag 8 oktober 2016
Antwoord
Hallo Shaki,
Dit is een rechthoekige driehoek! Laten we hem eens in een assenstelsel plaatsen met $A$(0,0), $B$(8,0) en $C$(0,6).
Omdat het een rechthoekige driehoek is, is het midden van de hypothenusa (schuine zijde) $BC$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Je kunt dit op verschillende manieren zien, bijvoorbeeld door de middelloodlijnen van $AB$ en $AC$ te snijden.
Dus het middelpunt van de omgeschreven cirkel is $M$(4,3).
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel, zeg $I$, moet natuurlijk liggen op de bissectrice van $\angle BAC$, dus op de lijn $y=x$. En de $x$-coördinaat en $y$-coördinaat zijn gelijk aan de straal van de ingeschreven cirkel.
Nou is er een trucje waarmee je die straal $r$ kunt uitrekenen. De afstand van $I$ tot $AB$, $AC$ en $BC$ is immers telkens $r$. Dus de oppervlakte van bijvoorbeeld $\Delta ABI$ is gelijk aan $\frac 12 r\cdot AB$. Op die manier is de oppervlakte van $\Delta ABC$ gelijk aan $\frac 12 r \cdot (AB + AC + BC) = \frac 12 r \cdot 24 = 12r$. De oppervlakte van $\Delta ABC$ als rechthoekige driehoek is ook gelijk aan $\frac 12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$. Het combineren van de twee oppervlaktes geeft dat $r=2$.
Dus de coördinaten van het middelpunt van de ingeschreven cirkel zijn $I$(2,2).
De afstand tussen die twee punten is nu rechttoe rechtaan met Pythagoras uit te rekenen en wordt $\sqrt 5$.
Als je de twee stralen hebt gevonden is er ook een algemene formule voor de afstand tussen de twee middelpunten. Zie de links hieronder.
