Een grote voorraad bonbons van 4 verschillende soorten(rumbonen, kersenbonbons, hazelnootpralines en advocaatbonbons) wordt aselect in zakjes van ieder tien verpakt.
Op hoeveel manieren kan de inhoud van zo'n zakje zijn samengesteld.
Piet koopt een zakje. Hoe groot is de kans dat dit zakje 2 rumbonen, 3 kersenbonbons en 5 hazelnootpralines bevat.
Ik kom er niet er niet uit.
Bart v
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 24 februari 2003
Antwoord
Hallo Bart,
Best een lastig probleem. Bonbons eten is gemakkelijker. Eet ze eerst allemaal op, dan is er nog maar één soort zakje : leeg. Probleem opgelost. Nu serieus. Eerst een goede raad. Als een probleem te groot is neem ik eerst een kleiner probleem dat er een beetje op lijkt.
Bijvoorbeeld hoe zou het zijn als er maar 2 soorten bonbons waren, a en b en er bv 6 in een zakje gaan. Dan zijn er natuurlijk 7 mogelijke vullingen. aaaaaa, aaaaab, ...., bbbbbb (aantal b van 0 tot 6). De vulling aa/bbbb kan ook zo geschreven xx/xxxx. De slimmigheid zit 'm in het steepje: a's voor de steep en b's na de streep (vb xxxxxx/ betekent 6 a's, 0 b's). Deze truc kunnen we ook gebruiken als er meer soorten zijn, bv 4 soorten a, b, c en d. En 10 bonbons in een zakje Een vulling aa bbbb c ddd wordt dan : xx/xxxx/x/xxx (en ///xxxxxxxxxx beteken alleen maar d's). Het aantal mogelijke vullingen is even groot als het aantal rijtjes wat je kunt maken met 3 streepjes en 10 kruisjes. Daar weten we wel raad mee.
Nu deel b) van je vraag.
Eerst het simpele geval van 2 soorten a en b in zakjes van 6. Hoe groot is de kans op een zakje met bv 2a's en 4 b's ? We nemen aan dat de zakjes op goed geluk gevuld worden door 6 keer een bonbon te pakken uit een grote hoop waarin even veel a als b voorkomt. Dan krijg je de bekende binomiale verdeling. Hoe zat dat ook weer?
De kans op 6 keer a P(aaaaaaa) = 1/26 = 1/64. De kans op 2 a's is groter, want dat kan op meer manieren: aabbbb, ababbb, abbabb,enz.
Dus je 1/64 nog vermenigvuldigen met het aantal mogelijke rijtjes met 2 a's en 4 b's Dat geeft dan de bekende binomiale kans.
Hoe gaat dat nu met 4 soorten. Je neemt weer aan dat er even veel van iedere soort in de hoop voorkomt. De kans op een zakje met 10 a's is dan (1/4)10 ongeveer 1 op 1.000.000. Om de kans op bv 2 a's, 3 b's, 3 c's en 2 d's te krijgen moeten we vermenig vuldigen met het aantal mogelijke rijtjes dat je kunt maken met 2 a's, 3 b's, 3 c's en 2 d's.
Dat kan zo: kies eerst de plaatsen voor de a's: 2 uit 10. ( binomiaal coëfficiënt 10 boven 2. dat is 10·9/2=45) Dan de 3 plaatsen voor de b's: 3 uit 8. Dan de plaatsen voor c's: 3 uit 5. Ten slotte kunnen dan de plaatsen voor de d's nog maar op 1 manier gekozen worden: 2 uit 2. (Je vermenigvuldigt dus die binomiaal coëfficiënten en dan heb je het aantal mogelijke rijtjes.)
