Hoe zoek je de transformatiematrix van een lineaire transformatie die elke punt van R2 tov een gegeven rechte met een parameter? (bv. y=mx)
jo
3de graad ASO - zondag 23 februari 2003
Antwoord
Hoi,
Ik veronderstel dat je vraagt hoe de transformatiematrix eruit ziet van een spiegeling rond een gegeven rechte (door de oorsprong).
Neem een punt u(x0,y0). Noem het beeld na spiegeling v(x1,y1). We hebben als eigenschappen: - het midden van [uv] ligt op rechte L met vergelijking y=m.x - uv staat loodrecht op L.
Dus: (y0+y1)/2=m.(x0+x1)/2 of: m.x1-y1=-m.x0+y0(1) en: (y0-y1)/(x0-x1).m=-1 of m.(y0-y1)+x0-x1=0 of x1+m.y1=x0+m.y0(2)
De vergelijking (1) en (2) vormen een stelsel waaruit je x1 en y1 kan berekenen in functie van x0 en y0.
Meer bepaald: A.v=B.u met A=((m,-1),(1,m)) en B=((-m,1),(1,m)). Det(A)=m2+1, zodat voor alle reële m A-1 bestaat (aan jou om die te berekenen...). Je kan dan C=A-1.B berekenen zodat v=C.u. Dit is dan de matrix die je zoekt.
