\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 78189

Re: Euler

Ik heb e^ix t/m reeks i⁶ uitgerekend.
Dan krijg je opgeteld:
alle reele getallen:1-2+16/24-64/720=-.4222
alle complexe getallen:2i-4i/3+4i/15=14i/15 Niet 1.6i dus.
Maar waar het mij om gaat:
e²ⁱ kan ik dus niet rechtstreeks met het reele getal e=2.71 berekenen.
Of toch wel?
Mvg,Jakob

Herman
Ouder - woensdag 20 april 2016

Antwoord

Beste Jakob,

De reeks afbreken na een aantal termen geeft natuurlijk maar een benadering, al is die na de correctie bij 14i/15 al vrij behoorlijk als je vergelijkt met de waarden uit mijn antwoord.

Wat je andere vraag betreft: dan moet je toch verduidelijken met wat je in deze context onder 'rechtstreeks' verstaat. Je kan het inderdaad niet berekenen zoals natuurlijke machten van $e$: door $e$ herhaaldelijk met zichzelf te vermenigvuldigen. Maar dat kan voor $e^{1/2}$ of $e^\pi$ natuurlijk ook al niet meer. De formule uit mijn vorig antwoord geeft wel een manier om de coëfficiënten te schrijven met behulp van de goniometrische getallen.

Een machtsverheffing met grondtal $e$ en willekeurige complexe exponent $a+bi$ kan je dan opsplitsen als
$$e^{a+bi} = e^a . e^{bi}$$waarbij de eerste factor zuiver reëel is en je voor de tweede factor de formule uit mijn eerder antwoord kan gebruiken.

mvg,
Tom

td
woensdag 20 april 2016

©2001-2024 WisFaq