de vraag luidt als volgt: 4 Bij Scrabble heeft iemand 3 keer de letter A, 2 keer de letter N en 1 letter S. Door de letters achter elkaar op zijn plankje te leggen, vormt hij een "woord" (dat niet in het woordenboek hoeft voor te komen; het hoeft ook niet uitspreekbaar te zijn: de letters mogen dus in een willekeurige volgorde staan). a. Hoeveel "woorden" kan hij vormen?
zoe jo
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 20 april 2016
Antwoord
Beste Zoe,
Stel dat elke letter maar één keer voorkomt, dus je hebt één A, één N en één S. Je zoekt dan alle anagrammen van ANS, dus: ANS, ASN, NAS, NSA, SNA, SAN. Om het aantal te berekenen, hoef je ze niet allemaal op te schrijven: voor de eerste letter heb je keuze uit 3, voor de tweede letter nog keuze uit 2 en de laatste letter ligt dan vast: je hebt 3·2·1 = 6 keuzes. Men noemt dit een permutatie en noteert ook 3! = 6.
In jouw voorbeeld bestaat het woord niet uit 3, maar uit 6 letters. Het totaal aantal mogelijke woorden in het geval van 6 verschillende letters is volgens dezelfde redenering van hierboven dan gelijk aan 6! = 6·5·4·3·2·1 = 720. Maar dan tellen we er te veel, omdat niet alle letters verschillend zijn. Zo levert het verwisselen van de twee N's in het woord ANANAS geen nieuw woord, dat blijft ANANAS.
Door het onderling wisselen van de letter N hebben we dus al twee keer te veel woorden geteld, deel bijgevolg het aantal door 2.
Op hoeveel manieren kunnen de drie A's onderling verwisseld worden? Ook door dat aantal moet je nog delen.
