De vraag luidt als volgt: Beschouw de matrix A = [ a1 a2 a3 a4 a5 ] die geveegd is naar echelonvorm.
A = 1 2 1 1 3 2 4 1 3 4 1 2 0 2 1 2 4 1 3 4
∼
1 2 0 2 1 0 0 1 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = E
Stel B = [a1 a3] bepaal een matrix C zodat BC = A.
Moet je een bepaalde matrixproduct hanteren om in te zien dat C gelijk moet zijn aan E (minus de twee onderste rijen)? Of wordt hier gebruikt gemaakt van een bepaalde stelling, of moet het helemaal nagerekend worden?
Alvast bedankt
Oscar
Student universiteit - zaterdag 5 maart 2016
Antwoord
Je kunt altijd zeggen: dit is de matrix $C$, kijk maar: het product klopt. De theorie van het vegen zegt ons dat de pivotkolommen in de oorspronkelijke matrix een basis voor de kolomruimte vormen, en aan de matrix $E$ is te zien dat dat de kolommen $a_1$ en $a_3$ zijn. Elke kolom is dus een lineaire combinatie van die twee. Als je de kolommen van $A$ even in de volgende volgorde zet, $[a_1\,a_3\,a_2\,a_4\,a_5]$, dan kun je het veegproces zien als het simultaan oplossen van drie stelsels: $x_1a_1+x_2a_3=a_2$, $x_1a_1+x_2a_3=a_4$, en $x_1a_1+x_2a_3=a_5$. De tweede kolom van $C$ bevat de oplossing van het eerste stelsel, de vierde die van het derde, en de vijfde die van het derde. En dat laat zien waarom $BC=A$: in elke kolom van $BC$ staat de juiste lineaire combinatie van $a_1$ en $a_3$ om die kolom van $A$ te maken.
