\require{AMSmath}

Berekenen van de macht

Bij de volgende stelling weet je dat het antwoord 2 is. Maar hoe bereken je dit? Moet je hiervoor logaritme gebruiken?

3ⁿ + 4ⁿ = 5 ⁿ

Bij voorbaat dank,
Dennis de Vink

Dennis
Student hbo - dinsdag 1 maart 2016

Antwoord

Hallo Dennis,

Direct berekenen van het antwoord 2 is niet zomaar mogelijk. Wel weten we sinds de Laatste stelling van Fermat dat zoeken naar n$>$2 niets op zal leveren. Het is dus een kwestie van n=1 en n=2 proberen.

Overigens, duidelijk is ook dat 3ⁿ + 4ⁿ bij de stap van n naar n+1 met een kleinere factor groeit dan 5ⁿ. Immers, 3ⁿ⁺¹ + 4ⁿ⁺¹ $<$ 5·(3ⁿ + 4ⁿ). Dus ook als je de laatste Stelling van Fermat niet kent, kun je al snel concluderen dat je klaar bent. Als de macht met het grootste grondtal de som van de andere twee eenmaal heeft ingehaald, komen die twee nooit meer terug.

Ik neem een ander voorbeeld:

Zou
7ⁿ + 9ⁿ = 11ⁿ een oplossing hebben?

7⁰ + 9⁰ $>$ 11⁰
7¹ + 9¹ $>$ 11¹
7² + 9² = 130 $>$ 11²
7³ + 9³ = 1072 $<$ 11³ (=1331)

En nu haalt de linkerkant voor grotere n nooit meer de rechterkant in. Geen oplossing dus.

Groeten,

FvL
dinsdag 1 maart 2016

©2001-2024 WisFaq