Stel je hebt 9 vakjes. Bij elke beurt vul je een vakje. Herhaling is toegestaan. Wat is de kans dat alle vakjes gevuld zijn na n beurten? Ik weet niet hoe ik moet beginnen. Is dit een binomiaal probleem of niet?
Mathij
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 11 januari 2016
Antwoord
Hallo Mathijs,
Laten we de bakjes nummeren van 1 t/m 9.
Er zijn $9^n$ verschillende manieren om $n$ keer een bakje te kiezen. Laten we die manieren keuzerijen noemen.
Van de keuzerijen bevatten er $8^n$ geen keuze voor bakje 1, en ook $8^n$ geen keuze voor bakje 2. Enzovoorts.
Je zou nu misschien even denken dat er $9^n-9\cdot 8^n$ keuzerijen zijn waarin alle bakjes een keer gekozen zijn. Maar dat aantal klopt niet precies, want keuzerijen waarin zowel bakje 1 als 2 niet voorkomen hebben we nu twee keer afgetrokken Er zijn $7^n$ keuzerijen zonder bakje 1 en 2. En er zijn $\binom{9}{2}$ verschillende tweetallen bakjes die we dubbel hebben afgetrokken.
We komen op een nieuwe tussenstand $9^n-9\cdot 8^n+\binom{9}{2}7^n$.
Je raadt het al, we zijn er nog steeds niet. Kijken we naar keuzerijen waarin bakje 1, 2 én 3 niet voorkomen, dan hebben we die er eerst er driemaal afgehaald, en daarna weer driemaal (want er zijn drie tweetallen, 1-2, 1-3 en 2-3) erbij. Rijtjes waarin drie bakjes niet voorkomen moeten er dus weer af.
Nieuwe tussenstand $9^n-9\cdot 8^n+\binom{9}{2}7^n-\binom{9}{3}6^n$.
Rijtjes waarin 4 bakjes niet voorkomen zijn er nu eerst vier keer afgehaald, daarna $\binom{4}{2}=6$ keer per tweetal terug bijgeteld en tenslotte weer $\binom{4}{3}=4$ keer per drietal afgehaald. Het resultaat is dat ze nu dubbel zijn weggehaald.
Nieuwe tussenstand $9^n-9\cdot 8^n+\binom{9}{2}7^n-\binom{9}{3}6^n+\binom{9}{4}5^n$.
Deze redenering kunnen we voortzetten totdat we uiteindelijk uitkomen op het aantal keuzerijen waarin alle bakjes minimaal een keer voorkomen:
