R
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 19 februari 2003
Antwoord
Zoals jij de rij opschrijft is de limiet van de rij oneindig. Jouw rij wordt, vereenvoudigd: 1, 2, 3, 4, ...
De volgende rij is interessanter, en ik denk dat je die bedoelt: 1 , (1 +1), (1+(1 +1)). Deze rij kan als volgt al recurrente betrekking worden opgeschreven: u(n) = (1 + u(n-1)) u(1) = 1
Met de grafische rekenmachine kom ik tot een limiet van 1.618033989.
Maar het is natuurlijk interessanter om te kijken wat de exacte limiet is. We vermoeden (door de grafische rekenemachine) dat die limiet bestaat. Ook al weten we de waarde niet exact, we kunnen hem wel een naam geven. Stel noemen de limiet van onze rij 'u'. Omdat het de limiet is, weten we dat als we u invullen in de recurrente betrekking, er weer u uit moet komen. (Bedenk waarom dit zo is) We krijgen dus de vergelijking:
(1 + u) = u.
Los deze vergelijking op en je hebt de exacte waarde van de limiet.
NB: Deze limiet heeft een speciale naam; het is het zogenaamde Gulden Snede getal. Zoek maar eens bij Google op Gulden Snede.
1, 