\require{AMSmath}

Meerdere worpen dobbelstenen

Je wil bij Yahtzee een grote straat. Je eerste worp is 12355.

Als dit de tweede worp zou zijn is het antwoord relatief makkelijk. Je pakt een 5 om er een 4 van te maken. Dat is 1/6 kans. Of je pakt de 1 en een 5 om er een 1 en een 4 of een 4 en een 6 van te maken. Dat is 2/6 x 1/6 + 2/6 x 1/6 = 1/9 kans. Kan je beter alleen de 5 pakken.

Maar ik weet even niet meer hoe dit over twee worpen werkt. Dan zijn er ineens veel meer variabelen. Kan ik wel handmatig uitwerken, maar dan moet ik heel veel scenario's uitwerken, terwijl er volgens mij gewoon een formule voor is, die ik niet meer weet en ook niet makkelijk op google kan vinden. Hoe zat dat ook alweer?

Erwin
Iets anders - maandag 30 november 2015

Antwoord

Hallo Erwin,

Je zult inderdaad meerdere scenario's moeten uitwerken. Eerst maar eens de scenario's wanneer je alleen een 5 opnieuw werpt. Dan zijn de mogelijkheden:

1. Je gooit direct 4: gelukt, kans is 1/6
   
2. Je gooit geen 4 en probeert hetzelfde opnieuw: kans op succes is 5/6 x 1/6
   
3. Je gooit geen 4 en besluit de 1 mee te gooien: kans op succes is 5/6 x 1/9

De kansen bij scenario 2 en scenario 3 mag je natuurlijk niet optellen: wanneer je scenario 2 kiest, vervalt scenario 3 en omgekeerd. De (maximale) kans op succes bij opnieuw gooien van één dobbelsteen is dus 1/6 + (5/6 x 1/6) = 11/36

Dan de scenario's wanneer je bij de tweede worp een 1 en een 5 opnieuw gooit. Dan zijn de mogelijkheden:

1. Je gooit 1+4 of 4+6: gelukt, de kans is 1/9 (had je al uitgerekend)
   
2. Je gooit een 4 en daarbij niet 1 of 6: deze laatste dobbelsteen werp je opnieuw om 1 of 6 te krijgen. Kans op succes: 7/36 x 2/6
   
3. Je gooit 1 of 6 en daarbij niet 4. De kans hierop is 16/36. Je hebt dan dezelfde situatie als waarmee de vraag begon: nog één worp over om de ontbrekende 4 te gooien. Je had al gezien dat je het beste één dobbelsteen kunt overgooien. De kans op succes wordt dus: 16/36 x 1/6
   
4. Je gooit geen 1, geen 4 en geen 6. De kans hierop is 1/8. Met twee dobbelstenen moet je nu 1+4 of 4+6 gooien. Ook deze kans had je al berekend: 1/9. De kans om op deze wijze grote straat te gooien, is dus 1/8 x 1/9.

Mijn conclusie is zodoende dat de kans op succes is:

• bij werpen met één dobbelsteen: 11/36 = 22/72;
  
• bij werpen met twee dobbelstenen: 19/72

Ik zou in de gegeven situatie dus één dobbelsteen opnieuw werpen.

GHvD
maandag 30 november 2015

©2001-2024 WisFaq