\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 76656

Re: Som en verschilformule

Gamma wordt puur wiskundig besproken.

Concreet is het doel van de berekening om te bewijzen dat de som van twee sinussen van dezelfde frequentie maar een verschillende amplitude en fasehoek altijd als resultaat een nieuwe sinusfunctie geeft van dezelfde frequentie.

Als je dit beschouwd, begrijp ik niet waarom je gamma dan aan nul of $\pi$/4 kan stellen. Tuurlijk, het levert een wiskundig correct resultaat op, maar voor een bewijs waarin alpha en ß in principe elke waarde aan kunnen nemen, kan je toch niet zomaar volstaan door nul of $\pi$/4 in te vullen?

Arie d
Student universiteit - woensdag 28 oktober 2015

Antwoord

Zonder die nevenvoorwaarde krijgen we oneindig veel mogelijkheden voor $\hat c$ en $\gamma$; ik heb er gewoon maar twee genomen.

Met de nevenvoorwaarde is niet zo slim alleen de helft van de formule uit te werken, juist door de hele uitkomst, $\sin(\Phi t)(\hat a\cos\alpha+\hat b\cos\beta)+\cos(\Phi t)(\hat a\sin\alpha+\hat b\sin\beta)$, te nemen kunnen we verder: er staat in feite iets van de vorm $A\sin\Phi t + B \cos\Phi t$.

De standaard manier om dit om te bouwen is $\sqrt{A^2+B^2}$ buiten de haakjes te halen. Waarom? Omdat er een hoek $\gamma$ is zo dat $\cos\gamma=A/\sqrt{A^2+B^2}$ en $\sin\gamma=B/\sqrt{A^2+B^2}$.

En zo komen we uit op
$$
\sqrt{\hat a^2+\hat b^2+2\hat a\hat b\sin(\alpha+\beta)}\sin(\Phi t+\gamma)
$$(een mooie uitdrukking voor $\hat c$ dus).

kphart
woensdag 28 oktober 2015

©2001-2024 WisFaq