Gegeven is de functie: $\eqalign{f(x)=\frac{6x}{x^2+5}}$
Bereken exact voor welke a de vergelijking f(x) = ax precies twee oplossingen heeft.
Ik begrijp dat je dan de afgeleide moet opstellen van f(x) en daar x=0 in moet vullen. Je weet dan a, maar ik begrijp niet hoe je dan verder moet. Hoe kom je dan uiteindelijk op het antwoord?
Alvast bedankt!
Anouk
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 14 oktober 2015
Antwoord
Met de afgeleide heeft het niet veel te maken, of eigenlijk helemaal niets. Je moet een vergelijking oplossen en eist dat je precies twee oplossingen vindt. Uit 6x/(x2 + 5) = ax volgt in elk geval direct x = 0 (vul maar in!) en daar kan de waarde van a niets aan veranderen. Je hebt dus, onafhankelijk van a, sowieso altijd al één oplossing. Nu ga je op zoek naar een tweede oplossing, maar die mag niet gelijk zijn aan nul. Deel de vergelijking aan beide kanten door x waarna je overhoudt 6/(x2 + 5) = a Hieruit volgt dat x2 + 5 = 6/a (hetgeen vereist dat a ongelijk 0 is) ofwel x2 = 6/a - 5 Als hetgeen rechts staat positief is, dan levert dat twee oplossingen op, maar dan heb je er in totaal dus drie. Dat is niet de bedoeling van de vraag. Als het rechtergetal precies gelijk is aan 0, dan vind je x = 0 maar dan heb je geen twee verschillende oplossingen. En als hetgeen rechts staat negatief is, dan vind je geen oplossingen meer en blijft het bij x = 0 Ten slotte: in het laatste stukje staat ergens tussen haakjes dat a ongeljk 0 moet zijn. Je moet dus even kijken wat er gebeurt als a wèl 0 is. De vergelijking wordt dan 6x/x2 + 5) = 0 en dat levert alleen maar x = 0 op. Je wilt twee oplossingen, dus a = 0 is dan niet bruikbaar. De conclusie laat ik aan jezelf over!
