\require{AMSmath}

Kettingregel

Goeiedag,
We mochten zelfstandig oefenen op de kettingregel. 1 probleempje: we kregen wel het antwoord maar niet het stappenplan. Nu zit ik behoorlijk vast met een vraagstuk. Dat gaat als volgt:
Op een eilandje dat 300 meter voor de kust ligt staat een vuurtoren. De lichtstraal van de vuurtoren draait met een constante snelheid rond in tegenwijzerzin en doet 2 minuten over 1 omwenteling. Tegen welke snelheid loopt de lichtstraal over de kustlijn op het moment ze door een punt B loopt dat 500 meter van de vuurtoren verwijderd is?
We zitten dus met een rechthoekige driehoek BVE. E is de scherpe hoek thèta. V is de rechte hoek. Het lijnstuk VE is 300 meter, het lijnstuk BE 500 meter en het lijnstuk BV is onbekend. Het enige waar ik zeker van ben is dat 2p radialen in 2 minuten wordt gedraaid dus pi·t radialen in t minuten. Dus: thèta = pi·t
Dan heb ik de functie voor x opgesteld en ik heb deze: x = 300tand(thèta) of dus x = 300tan(pi·t)
Dan dacht ik de afgeleide te nemen voor die x en kreeg ik 300·pi/cos²(thèta). Ik heb geen idee wat ik dan moet doen of of dit wel juist is. Het enige dat ik nu heb is de uitkomst: die zou 2618 m/min moeten zijn
Zou u willen helpen?
Alvast bedankt
Soph

• Kettingregel

Soph
3de graad ASO - zondag 13 september 2015

Antwoord

Beste,

Laten we punt E definiëren op het tijdstip 0
De afstand tussen punt B en E noemen we y.

In algemene zin geldt dat de afstand:
afstand=300.tan(@) waarbij @ de hoek BVE is.

Wanneer we @ uitdrukken in tijd.
$ @ = \pi t $

Hiermee wordt de afstand in algemene zin dus:
\[
y = 300\tan (\pi t)
\]

snelheid=afstand/tijd en in deze hebben we de afstand uitgedrukt in tijd, dus als we de afgeleide nemen hebben we de grafiek of formule voor de snelheid.

\[
y' = 300.\frac{\pi }{{\cos ^2 (\pi t)}}
\]

Hier staat y' dus voor de snelheid.

Wanneer we naar punt B kijken in strenge zin. Dus in de specifieke situatie dat de afstand BV=500 meter en EV=400 meter. Dan weten we dat @ gelijk is aan:
\[
\tan ^{ - 1} (400/300) \approx 0,92729
\]

De tijd om deze hoek te maken is dan:
\[
\frac{@}{\pi } \approx 0,29516
\]

Vul dit in de formule voor de snelheid.

\[
y' = 300.\frac{\pi }{{\cos ^2 (\pi .\tan ^{ - 1} (4/3)/\pi )}} = 2617,993
\]



mvg DvL

DvL
zondag 13 september 2015

©2001-2024 WisFaq