\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking met 2 variabelen en wortelvormen

Goede middag,

Volgende differentiaalvergelijking tracht ik op te lossen via een substitutie y=vx. en y/x=v
Het gaat om:
y.√(x²+y²)dx-x(x+√(x²+y²)dy=0
Ik probeer nog verder te gaan vanuit deze opgave:
y=vx
dy=vdx+xdv
Invullen geeft:
vx(√(x²+v²x²)dx-x(x+√(x²+v²x²)(vdx+xdv)=0
Buiten haakjes brengen , vereenvoudigen en schrappen van tegengestelde termen leidt tot:
vdx+xdv+√(1+v²)dv=0
Scheiding van variabelen en integreren leidt tot:
I(-dx/x)=I(1+√(1+v²)dv/v
Stel nu t²=1+v² en t²-1=v² 2tdt=2vdv en vdv=tdt
We gaan verder :
lnC1-lnx= I(dv/v)+I(√(1+v²)v.dv/v/é3(teler en noemer x v )
lnC1-lnx=lnv +I√(1+v²)v.dv/v²
lnC1-lnx-ln(y/x)=I((t.t)dt)(t²-1)
LnC1-lnx-lny+lnx=Idt+Idt/t²-1
LnC1-lny=Idt+¹/₂Idt/t-1-¹/₂Idt/t+1
Ln(C1/y)= t+1/2ln(t-1/t+1)
Ln(C1/y)= √(1+v²+
1/2ln|√(1+v²)-1)/(√(1+v²) en v²=y²/x²
Ln(C1/y)= √(x²+y²)/x
+ln(√(√(x²+y²-x)))/((√(x²+y²+x))
Maar het eindresultaat zou moeten zijn:
Cx-√(x²+y²)=xln(√(x²+y²)-x

Is er iets fout gegaan in het rekenwerk?
Groetjes

Ik gebruikte de letter I ipv het symbool integraal (langgerekte som) dat ik niet meer kan genereren(letter o/$\int{}$verschijnt)

Rik Le
Ouder - zaterdag 29 augustus 2015

Antwoord

Volgens mij heb je in het resultaat van de vereenvoudiging de variabele x vöór √(1 + v²) niet opgeschreven.

MBL
maandag 31 augustus 2015

Re: Differentiaalvergelijking met 2 variabelen en wortelvormen

©2001-2024 WisFaq