\require{AMSmath}

Binomium van Newton en driehoek van Pascal

Er staat al een uitleg over Binomium van Newton en driehoek van pascal maar die begrijp ik niet, willen jullie het alsjeblieft uitleggen zodat ik het wel begrijp. Ik zit in 2 havo

Laura
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zaterdag 15 februari 2003

Antwoord

Als je werkelijk in de onderbouw zit, dan ben je je tijd enigszins voor, want de driehoek van Pascal komt pas in hogere leerjaren aan de orde. Maar goed, ware talenten wachten nooit te lang, zullen we maar zeggen.
Ik neem aan dat je weet hoe de driehoek in elkaar zit. Ik schrijf er hier een stukje van op en de puntjes zijn alleen maar bedoeld om de getallen enigszins onder elkaar te krijgen.

.................1...................
...............1...1.................
.............1...2...1...............
...........1...3...3...1............
.........1...4...6...4...1..........
enz.
Elke rij in de driehoek begint en eindigt met het getal 1 en de tussenliggende getallen ontstaan steeds door de twee getallen die er vlak boven staan op te tellen. Controleer het maar even in het kleine stukje dat je hierboven ziet.
En wat kun je er nu mee?
Als je machten gaat uitrekenen van de gedaante (a + b)¹ of (a + b)² of (a + b)³ enz. dan krijg je achtereenvolgens: 1a + 1b en 1a² + 2ab + 1b² en 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³.
Als je nu op de getallen let, dan zie je dat het precies de getallen zijn die je in de driehoek op een rij ziet staan.
Pascal bewees dat dat geen toeval is, maar altijd klopt. Dat betekent dus dat je met de driehoek vrij vlotjes machten van (a + b) kon uitschrijven. Dat moet in die tijd een stap voorwaarts zijn geweest, want alles ging nog met het handje.
De bovenste 1 in de driehoek heeft als functie dat daarmee de driehoek mooi "af" is. En omdat de afspraak is dat (a + b)⁰ = 1 klopt het ook nog eens met de gewone machten die je hierboven ziet.

MBL
zaterdag 15 februari 2003

©2001-2024 WisFaq