\require{AMSmath}

Stelsel met parameter

Beste WisFAQ,

Ik heb een vraagje over een mijn huiswerk. Ik heb verschillende opgaven over stelsels met parameters maar ik vind het lastig om op te lossen.

Een voorbeeld:
2x + ay = 5
x - y = a

Hoe hangt het aantal oplossingen voor dit stelsel af van parameter a ?
En dan moet ik ook aangeven of hoeveel oplossingen er zijn voor de waarden van a.

Alvast bedankt voor de hulp!

Tim
2de graad ASO - dinsdag 9 juni 2015

Antwoord

Hallo Tim,

We beginnen even je voorbeeldstelsel iets te bewerken, zodat de factoren voor x hetzelfde worden.

2x + ay = 5
x - y = a $<$--- doen we maal 2

2x + ay = 5
2x - 2y = 2a

Er is hier één bijzonder geval, als de factoren bij y nu ook hetzelfde worden. Dus als a=-2. Dan hebben we beneden en boven precies dezelfde factoren voor x en y.

Het stelsel is in zo'n geval strijdig (geen oplossing) of afhankelijk (oneindig veel oplossingen). Als je de bijbehorende lijnen zou tekenen, dan zijn het twee evenwijdige lijnen (geen snijpunt) of twee samenvallende lijnen. In dit geval krijgen we:

2x - 2y = 5
2x - 2y = -4

en duidelijk een strijdig stelsel. Want 2x - 2y kan nooit twee verschillende uitkomsten hebben.

In alle andere gevallen, dus voor a ongelijk aan -2 kun je het stelsel oplossen met één oplossing:

2x + ay = 5
2x - 2y = 2a
------------- aftrekken
(a+2)y = 5-2a

y = ^5-2a/_a+2

x - y = a dus

x = y + a
= ^5-2a/_a+2 + a
= ^5-2a/_a+2 + ^a2+2a/_a+2
= ^a2+5/_a+2

Je ziet, een keurige oplossing.

Als we naar het algemene stelsel kijken:

ax + by = c
dx + ef = d

Dan krijg je een strijdig of afhankelijk stelsel als a·e = b·d. In je voorbeeldstelsel zou je dan meteen gezien hebben dat dat zou zijn bij a = -2.

Duidelijk zo?

Met vriendelijke groet,

FvL
dinsdag 9 juni 2015

©2001-2024 WisFaq