\require{AMSmath}

Groepen

Bij groepsorde 1024 horen 49 487 365 422 niet-isomorfe groepen. Hoe kan dat?

Bij een groepsorde van 1024 bestaan meer dan 49 miljard niet-isomorfe groepen (op meerdere plekken te lezen op het internet). Maar zo'n groep heeft 1024 elementen, dus 1024² kombinaties van elementen en ieder daarvan kan hoogstens 1024 waarden aannemen. Er zouden dus nooit meer dan 1 miljard niet-isomorfe groepen kunnen bestaan bij een groepsorde van 1024. Waar zit de fout in mijn redenering?

Jos
Iets anders - maandag 25 mei 2015

Antwoord

Een groepsoperatie op een verzameling $X$ is een afbeelding van $X^2$ naar $X$. Als het aantal elementen van $X$ gelijk is aan $n$ dan heeft $X^2$ dus $n^2$ elemennten (in jouw geval inderdaad $1024^2$) maar het aantal afbeeldingen van $X^2$ naar $X$ is $n^{n^2}$ ($n$ tot de macht $n^2$) en dat wordt in jouw geval dus $1024^{1048576}$ en dat is een getal met (veel) meer dan drie miljoen cijfers. Het getal 49 487 365 422 is daarbij vergeleken heel erg klein.
Je fout zat in een nogal dramatische onderschatting van het aantal mogelijke binaire operaties.

kphart
maandag 25 mei 2015

©2001-2024 WisFaq