\require{AMSmath}

Differentiëren

Ik zou graag een hint hebben bij het differentieren van de volgende formule. Tevens heb ik de dubbele afgeleide nodig om de onderstaande vergelijking op te lossen. Ik kom er niet uit met de productregel. Een ENORME afgeleide is het gevolg, laat staan de dubbele afgeleide.

Ik zie iets over het hoofd. Zou u me kunnen helpen?

Gegeven:
y=cos(x)·ln(^sin(x)+1/_cos(x))

Voor welke a geldt:
y + y''=a tan(x)

• Differentiëren

Koensi
Student hbo - donderdag 14 mei 2015

Antwoord

Beste Koensieben622 (),

Het lijkt allemaal akeliger dan het is. Als voorbereidend werk, bepalen we eerst de afgeleide van
$$g(x) = \ln{\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)}$$Dat geeft met de kettingregel:
$$g'(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)'$$Ik veronderstel dat je de afgeleide van de breuk kan vinden met de quotiëntregel, dat levert:
$$g'(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}\frac{1+\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}$$Na schrappen is dat dus een erg eenvoudige afgeleide.

Om de notaties te vereenvoudigen zal ik $g(x)$ gebruiken voor het stuk functie zoals hierboven afgesproken. Voor de eerste afgeleide geldt dan:
$$\left( \cos x \cdot g(x) \right)' = -\sin x \cdot g(x) + \cos x \cdot g'(x)$$Maar met de hierboven gevonden $g'(x)$ is die tweede term gewoon 1! De eerste afgeleide is dus
$$-\sin x \cdot g(x)+1 = -\sin x \cdot \ln{\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)}+1$$Verder voor de tweede afgeleide:
$$\left( -\sin x \cdot g(x) +1\right)' = -\cos x \cdot g(x) -\sin x \cdot g'(x) = -\cos x \cdot g(x) -\tan x$$Dat betekent dat $y+y''$ gelijk is aan
$$\cos x \cdot g(x) -\cos x \cdot g(x) -\tan x = -\tan x$$en dan volgt uit de vergelijking
$$y+y'' = a\cdot \tan x \Leftrightarrow -\tan x = a\cdot \tan x$$onmiddellijk $a=-1$.

Duidelijk zo?

mvg,
Tom

td
donderdag 14 mei 2015

©2001-2024 WisFaq