Hoi, ik heb een vraag over het zwaartepunt van een omwentelingslichaam berekenen.
Ik heb de formule f(x) = e^2x en die wordt ingesloten door x = 1, x = 2 en de x-as. De vraag is om het zwaartepunt te berekenen bij rotatie om de y-as.
Hoe moet ik dit aanpakken? Ik kan het nergens in mijn boeken en op internet vinden (mijn leraar heeft de vraag zelf gemaakt namelijk).
Dianne
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 7 april 2015
Antwoord
Hallo Dianne,
Ik hoop dat je voldoende papier hebt en deelberekeningen overzichtelijk noteert, want het wordt een hele berekening !
In de figuur zie je een schets van de functie, het groene vlak wordt gewenteld rond de y-as.
Vanwege symmetrie ligt het zwaartepunt op de y-as, dus de x-coördinaat van het zwaartepunt is nul. We hoeven dus alleen de y-coördinaat van het zwaartepunt te berekenen.
Waarschijnlijk heb je wel formules geleerd over omwentelingslichamen om de horizontale (x-)as. Om hierbij aan te sluiten, verwissel ik de horizontale en de verticale as, zie de linker figuur hieronder.
Dan is het ook wel handig om x als functie van y te schrijven in plaats van andersom:
y = e2x ln(y) = 2x x = 1/2ln(y)
Tot slot verwissel ik de naam van de variabelen (x wordt y en andersom). Dit is niet echt nodig, maar zo zijn we het gewend, dat scheelt weer vergissingen.
Nu is de vraag: bereken de x-coördinaat van het zwaartepunt van het omwentelingslichaam dat ontstaat bij omwenteling rond de x-as.
Om dit op te lossen, bekijk ik de 4 vlakdelen I, II, III en IV, zie deze figuur:
Het omwentelingslichaam ontstaat door eerst alle vlakdelen te wentelen om de x-as, en daar weer van af te trekken de omwentelingslichamen van de vlakdelen III en IV. Van alle omwentelingslichamen heb ik nodig:
de inhoud
de plaats van het zwaartepunt
Eerst maar eens de vlakdelen I en III wentelen. Dit levert een cilinder met straal 2 en hoogte e2. De inhoud van een cilinder berekenen we met pr2h, dus:
InhoudI+III = p22.e2 = 4pe2
Op gelijke wijze vind ik:
InhoudIII= pe2, dus:
InhoudI = 3pe2
InhoudIII = pe2
De zwaartepunten van I en III liggen op de halve hoogte, dus:
xzI=1/2e2
xzIII=1/2e2
Ook de inhoud van II+IV en het zwaartepunt vinden we met de formule voor een cilinder:
InhoudII+IV = 4p(e4-e2)
xz II+IV = 1/2(e4+e2)
Dan de inhoud van IV. Hiervoor moeten we een integraal opstellen:
InhoudIV = òpy2·dx
Dus:
InhoudIV = ò(1/2ln(x))2.dx, x van e2 tot e4
Het is even rekenen, maar je vindt:
InhoudIV = 1/2pe2(5e2-1)
Dan het lastigste stuK: het zwaartepunt van IV. Hiervoor geldt de formule:
Het is weer even rekenen, maar ik vind uiteindelijk:
Tot slot nog even de inhoud en het zwaartepunt voor allevier de vlakken samen:
Inhoudtotaal=p22e4 = 4pe4
xz totaal=1/2e4
Nu hebben we alle 'ingrediënten' verzameld. We moeten de deelvolumes en deelzwaartepunten nog combineren. In het algemeen kan je deelvolumes en deelzwaartepunten op deze manier combineren tot één totaalvolume en totaalzwaartepunt:
!
