\require{AMSmath}

Gelijkvormigheid

Scherphoekige driehoek ABC met omgeschreven cirkel. AD en BE zijn hoogtelijnen. ED snijdt na verlenging de omgeschreven cirkel in F.

Bewijs:

• driehoek CDF gelijkvormig met driehoek CFB
• CE x CA = CF²

jaap v
Ouder - woensdag 25 februari 2015

Antwoord

Het is duidelijk dat de twee genoemde driehoeken de hoek bij C gemeenschappelijk hebben. In concreto: $\angle$(DCF) = $\angle$(BCF).

Vierhoek ABDE is een koordenvierhoek en dus is $\angle$(EDC) = $\angle$A waarna volgt dat $\angle$(CDF) = 180° - $\angle$A.

Daar vierhoek ABFC ook een koordenvierhoek is, geldt dat $\angle$(BFC) = 180° - $\angle$A.

De twee genoemde driehoeken hebben dus twee gelijke hoeken en zijn derhalve gelijkvormig.

Uit deze gelijkvormigheid volgt nu direct dat CF² = CB x CD

Je wilt bewijzen dat CF² = CE x CA en dus ben je er als je kunt aantonen dat CE x CA = CB x CD.

Dit laatste volgt direct uit de evidente gelijkvormigheid van de driehoeken BEC en ADC.

MBL
donderdag 26 februari 2015

©2001-2024 WisFaq