\require{AMSmath}

Inversie en orthogonaal snijdende cirkels

Opgave: Door de inversie (O',k) wordt de cirkel K(O,r) in zichzelf getransformeerd. Het punt M gelegen op (K) heeft als beeld M'. Verder is ook een willekeurig punt P, gelegen op de cirkel (K), gegeven.
Dan wordt de vraag gesteld in het handboek: "Toon aan dat de verhouding PM/PM' een vaste waarde heeft."

Mijn gedachtegang: Daar (K) in zichzelf wordt afgebeeld moet de inversiecirkel C(O',k) de cirkel (K) orthogonaal snijden. Daar M en M' niet van positie veranderen op (K) zal de hoek(MPM')=a een vaste hoek zijn. Stel de hoek(PMM')=b en de hoek(MM'P)=c. Verder kan men direct stellen dat MM'=2r sin(a). In driehoek MM'P kan men bijv; de sinusregel toepassen en dan volgt daar direct uit dat:
sin(a)/(2r sin(a)) = sin(b)/PM' = sin(c)/PM = 1/(2r)
Nu is c = 180°-(a+b) ==$>$ sin c = sin(a+b)

Zo volgt uit de sinusregel: PM/PM' =sin(b)/sin(a+b)
Daar enkel de hoek a vast is, en dus niet de hoek b, kan deze verhouding volgens mij niet een constante waarde.
hebben. Er moet dus een fout staan in de opgave...

VRAAG: Zijn jullie het eens met deze conclusie en bestaat er in jullie database een oefening die sterk gelijkt op deze opgave, maar die wel tot een correct resultaat leidt????
Bedankt bij voorbaat!

Yves D
Docent - vrijdag 6 februari 2015

Antwoord

De stelling lijkt me niet te kloppen: als $P$ op de middelloodlijn van $M$ en $M'$ ligt is de verhouding gelijk aan $1$; als $P$ dicht bij $M$ ligt is de verhouding duidelijk kleiner dan $1$.
De verhouding is wel constant als je $P$ over de inversiecirkel laat bewegen.

kphart
zondag 8 februari 2015

Re: Inversie en orthogonaal snijdende cirkels

©2001-2024 WisFaq