\require{AMSmath}

Machtreeksontwikkeling

Gevraagd wordt om te laten zien dat de functie gegeven door f(x) = ¹/_|x-1|³+1 een machtreeksontwikkeling rond het punt a=0 heeft en om de convergentiestraal te bepalen.

Om dit te weten te komen moeten de singulariteiten van deze functie bepaald worden, oftewel |z-1|³+1 = 0 opgelost worden.
|z-1|³ = -1 heeft 3 oplossingen, namelijk:
|z-1| = e^(^$\pi$i/₃)
|z-1| = e^($\pi$i)
|z-1| = e^(^5$\pi$i/₃

Vanaf hier loop ik een beetje vast.
Hoe bepaal ik vanaf hier de singulariteiten van f(z)?

Donald
Student universiteit - dinsdag 20 januari 2015

Antwoord

Ten eerste: de functie $1/(|z-1|^3+1)$ is niet analytisch, dus complexe methoden werken niet meteen. Ten tweede: je drie vergelijkingen kunnen niets opleveren want telkens staat links iets dat reëel en positief is en rechts iets dat niet reëel is.
Echter, uit de vraag lijkt het of het in eerste instantie om reële $x$-en gaat; in dat geval geldt voor $x$ dicht bij $0$ dat $|x-1|=1-x$. Je hebt het dus eigenlijk over de functie $1/((1-x)^3+1)$ en dan heb je de singulariteiten al bijna te pakken: $z=1-e^{\frac{\pi i}3}$, $z=1-e^{\pi i}=2$, en $z=1-e^{-\frac{\pi i}3}$.

kphart
woensdag 21 januari 2015

©2001-2024 WisFaq