Gegeven is de volgende vraag: Gegeven zijn een cirkel c, een punt R op c, een punt Q buiten c en een punt P binnen c.
a) Constueer de cirkel die door punt Q gaat en de gegeven cirkel c in R raakt.
$\to$ Er zijn dus twee voorwaardes waar het middelpunt van de cirkel die ik moet constueren aan moet voldoen: $\to$ De middelpunt is even ver van Q als R $\to$ Dus middelpunt ligt ergens op de middelloodlijn van Q en R. $\to$ De te constueren cirkel moet de cirkel c in R raken.
Ik weet niet hoe ik de tweede voorwaarde moet inzien. In het antwoordenboekje staat dat je dan de lijn MR moet doortrekken tot hij snijdt met de middelloodlijn tussen Q en R (Waarbij M de middelpunt is van de gegeven cirkel c en R ligt op de cirkel c).
Waarom moet je MR doortrekken tot hij snijdt met de middelloodlijn van Q en R?
Groetjes,
Alex.
Alex
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 23 november 2014
Antwoord
Beste Alex,
De opdracht is dat de twee cirkels elkaar raken in punt R. In het algemeen geldt dat twee curves die elkaar raken, in het raakpunt een gemeenschappelijke raaklijn hebben, zie de linker figuur hieronder. Wanneer de raaklijnen aan de curves niet samenvallen, dan snijden de curves elkaar, dat zie je in de rechter figuur.
De raaklijn aan jouw cirkel in punt R staat loodrecht op de straal MR, zie onderstaande figuur. Dit moet dezelfde raaklijn worden als de raaklijn aan de tweede cirkel met middelpunt N. Deze heb ik even los getekend. De gemeenschappelijke raaklijn staat dus ook loodrecht op straal NR. De hoek MRN is zodoende 2x90°=180°, MN is zodoende een rechte lijn. In de rechter figuur heb ik de twee raaklijnen op elkaar gelegd.
Wellicht kan je ook wel aanvoelen dat de middelpunten en het raakpunt op één lijn moeten liggen. Leg maar eens twee muntjes tegen elkaar aan. Je zult zien dat het niet mogelijk is om het raakpunt naast de verbindingslijn tussen de middelpunten te leggen, zie deze figuur:
