\require{AMSmath}

Taylor expansion

Aangaande het berekenen van het volgende limiet m.b.v. een taylor reeks (Ook wel mclaurin series doordat x=0) heb ik meerdere vragen.

S1=e^(2x^2)
S2=Sin(x^2)
S3=(1+x)^3
S4=log(1+x^4)
Lim(x-$>$0) (S1+S2-S3)/S4

om deze opgave op te lossen probeer ik eerst alle segmenten individueel op te lossen. Echter lukt dit niet geheel. Mijn eerste vraag is hoe ver moet je exact/minimaal gaan in de series, en is dit voor ieder segment gelijk (n=?)?

Mijn volgende vraag heeft betrekking tot het oplossen van bijv sin(x^2). Hiervoor heb ik al begrepen dat je eerst sin(x) kan nemen en daarna in de gevolgde serie x voor x^2 te vervangen. maar geldt dit ook voor het resterende gedeelte (De big Oh remainder)?

Mijn uitwerking tot zover ik kom is als volgt:
e^(2x^2) -$>$ 1+(2x^2)+((4*(x^4))/2)+O(x^4))
sin(x^2) -$>$ (x^2)-((x^6)/3!)+O(x^8)
(1+x^2)^3 -$>$ ? (Hoe weet ik welk 'begin'formule ik moet nemen om daarna de substitutie o.i.d. te gebruiken (zoals in het voorbeeld van sin(x^2) ?)
log(1+x^4) -$>$ 1+(x^4)-((x^8)/2)+((2x^12)/3!)+O(x^16)

Zodra alle deeloplossingen bekend zijn moeten deze 'ingevuld' worden in de begin vergelijking en zal er een verhouding uit komen. Dit is verder geen probleem.

Alvast hartstikke bedankt!!

M
Student universiteit - zaterdag 25 oktober 2014

Antwoord

Ten eerste: $\log(1+x)\approx x-\frac12x^2+\frac13x^3+\cdots$ en dus $\log(1+x^4)\approx x^4-\frac12x^8+\frac13x^{12}+\cdots$ (de $1$ in jouw $\log$ moet dus weg).
Dit betekent dat je van alle functies zeker de coefficienten tot en met $x^4$ moet hebben.
Verder: $(1+x^2)^3$ kun je gewoon uitvermenigvuldigen: $1+3x^2+3x^4+x^8$.
De rest lijkt me verder wel te doen.

kphart
zaterdag 25 oktober 2014

©2001-2024 WisFaq