\require{AMSmath}

Richtcirkel constueren hyperbolen

Hoi!

Bij het maken van meetkunde vragen ben ik tegen een vraag aangelopen waarbij ik na veel proberen niet ben uitgekomen. Toen ik naar de antwoord keek, snapte ik er nog minder van.

Hier is de vraag:

Gegeven is een hyperbooltak met brandpunt F1, een raaklijn in punt R en de symmetrieas door F1.
-Teken de richtcirkel met middelpunt F1.

De antwoord van de vraag is:

Spiegel F1 in de raaklijn en noem dat punt S. Verleng lijnstuk RS en snijdt bijbehorende lijn met de symmetrieas. Het snijpunt is F2 en de lengte van F2S is de straal van beide richtcirkels. Je hoeft alleen maar deze lengte naar F1 over te brengen om de gevraagde richtcirkel te kunnen construeren.

--Wat ik dus niet snap is waarom ze F1 spiegelen in de raaklijn en ze dan RS doortrekken tot RS snijdt met de symmetrieas en je dan opeens F2 te pakken hebt.

Alvast bedankt Wisfaq!

Groetjes,

Alex.

Alex
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 23 oktober 2014

Antwoord

Door de spiegeling van F(1) in de raaklijn ontstaat driehoek SRF(1) die gelijkbenig is, en dús heb je nu bereikt dat RF(1) = RS.
De richtcirkel van deze hyperbool tak moet het middelpunt hebben op de symmetrie-as en R moet gelijke afstanden hebben tot F(1) en die richtcirkel.
Teken nu eens de cirkel met middelpunt F(2) en straal F(2)S en constateer dat R inderdaad gelijke afstanden heeft tot die cirkel en F(1).
Maar dan is die cirkel dus de richtcirkel!
Omdat je weet dat de richtcirkels rond de brandpunten liggen, moet F(2) dus het tweede brandpunt zijn en daar de richtcirkels dezelfde straal hebben, kun je een even grote cirkel rond F(1) trekken.

Je moet je bij de constructie maar niet teveel blindstaren op het 'waarom'.
Je constateert dat het inderdaad klopt en kunt misschien bewondering opbrengen voor degene die het bedacht. Door het zelf een paar keer nauwkeurig uit te voeren gaat het ineens aanvoelen alsof je het zelf bedacht hebt.

MBL
vrijdag 24 oktober 2014

©2001-2024 WisFaq