\require{AMSmath}

Vergelijking met breuken

Hallo Wisfaq,
Ik moet voor mijn opleiding dit soort vergelijking kunnen, maar ik kom er maar niet op uit. In het boek staat het nauwelijks uitgelegd, en ook op deze site kwam ik helaas niks vergelijkbaars tegen.
Hopelijk kunnen jullie me helpen!

5/(-1+x) + 2/(x-2) = 6/(1-x)

Het antwoord zou dit moeten zijn: 24/13

Luuk
Student hbo - zaterdag 18 oktober 2014

Antwoord

't Is waarschijnlijk voorkennis HAVO wiskunde B dat je nodig hebt. Op gebroken formules kan je daar een samenvatting van vinden.

In dit geval is het plan om de linker kant te gaan schrijven als één breuk en dan met kruislingsvermenigvuldigen de breuken allemaal weg te werken.

Opgave:

$\eqalign{
\frac{5}{{ - 1 + x}} + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{6}{{1 - x}}
}$

Dit kan je ook schrijven als:

$\eqalign{
\frac{5}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{ - 6}}{{x - 1}}
}$

Dat is handig want nu kan ik links en rechts vermenigvuldigen met $x-1$ zodat er van alles wegvalt:

$\eqalign{
5 + \frac{{2(x - 1)}}{{x - 2}} = - 6
}$

Dat ruimt lekker op... de rest gaat dan zo:

$
\begin{array}{l}
\frac{{2(x - 1)}}{{x - 2}} = - 11 \\
2(x - 1) = - 11x + 22 \\
2x - 2 = - 11x + 22 \\
13x = 24 \\
x = \frac{{24}}{{13}} \\
\end{array}
$

...en weer een vergelijking opgelost.

Nu had ik een beetje geluk dat er zowel links als rechts iets stond met $x-1$ in de noemer. Als dat niet het geval is dan kan je beter links en rechts proberen de zaak als één breuk te schrijven en dan kruislings te vermenigvuldigen.

$\begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
\frac{1}{{x + 1}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 2}} \cdot \frac{{x + 1}}{{x + 1}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
\frac{{x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
\frac{{x + 2 + x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
\frac{{2x + 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
(2x + 3)(x + 3) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) \\
\end{array}
$
Enz...

Hopelijk lukt dat zo en anders maar weer vragen!

Op Breuken vereenvoudigen met gemeenschappelijke factoren in de noemers staat nog een mooi voorbeeld.

WvR
zaterdag 18 oktober 2014

©2001-2024 WisFaq